数学模型在数学教学的应用
数学模型在数学教学的应用 【摘要】数学模型在学生的数学学习中有着重要的作用 和意义，能够更好地促进学生发现问题、解决问题的能力。数学建模是一个综合性的过程，在数学模型建立的课程中， 如何更好地帮助学生建立数学模型，如何准确的应用数学模 型解决生活中的数学问题，具有重要的意义。
【关键词】数学模型;构建;数学技能;应用 一、建立数学模型的意义 数学模型是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的 模型。确切地说，数学模型就是对于一个特定的对象为了一 个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假 设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。一切数学 概念、公式、理论体系、算法系统、表格、图示等都可称为 数学模型。数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼， 抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用 该数学模型来解释现实问题的应用过程。如在探究三角形全 等的条件中，通过体会三角形的特征，建立全等三角形的基 本模型。从而明确依靠三个角都相等是不能判别出三角形全 等的，而三条边都相等的三角形却是全等三角形。在建立了 全等三角形的数学模型后，得出全等三角形的判定方法“边 边边（ＳＳＳ）”，从而又通过边角的对应关系，得出其他 判定方法还有“边角边（ＳＡＳ）”“角边角（ＡＳＡ）” “角角边（ＡＡＳ）”。可见，数学建模是一种数学思想方法，是运用数学的语言和方法，遵循数学规律，通过抽象、 简化出解决实际问题的一种强有力的数学手段。
二、促进学生形成数学模型的策略 数学建模是培养学生应用数学知识解决实际问题的过 程，在建模过程中加深对数学知识的理解，提高学生发现问 题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。如“一次函数 的简单应用”的教学设计没有直接告诉学生如何进行一次函 数模型的构建，再让学生经历一次具体的练习，根据学生已 有知识和经验进行大量的探索和尝试，教学始终关注学生的 课堂生成，一切生成都源于自然．学生从平均数出发，利用 总数平均数、增长率平均数、增长幅度平均数等平均数原理 构建方程模型，在不断的讨论中，逐步生成函数模型，在函 数模型构建中关注模型的形成过程，即一次函数如何选择两 个代表性的点，对不同的选择方式进行充分的论证与比较， 最终形成了一致的认识：选择两个具有适当距离的点构成一 条直线，其余各点均匀分布在直线两侧。整堂课，学生经历 “自主构建―争论论证―再构建―再论证”不断完善模型的 构建过程，数学模型的构建完全由学生自发生成，所有模型 的生成均显得自然、合理。在模型选择中，完全放手让学生 进行比较分析，重视学生的学习体验。在模型构建教学中让 学生学会选择和比较，在模型应用中发展学生的综合能力。
根据上面的课例可以看出，数学建模的形成受诸多方面的因 素的影响，我认为可以从以下方面去考虑：１．教师的促进性技能，教师一定要营造一种积极、探究的环境，在这个环 境中，学生能进行思考、分析、解决问题，学生的想法和问 题是被尊重的，教师和其他学生应对这个学生的想法给出建 设性的反馈。２．教师的数学素养，教师要很好地理解与情 境相关的数学知识以便引导学生提出质疑并在倾听的时候 进行反思。３．教师和学生使用多种表征方式和数学工具， 如动态几何软件、电子表格、网络、图形、计算器等。４． 大量采用开放式的问题．有的问题具有多种可行的答案，多 种表征方式和多种解决办法．而有些人为设计的问题似乎会 出现在真实的情境中，但并不是真实的或者不符合认知要求。
５．问题情境。选择现实的问题是非常重要的，那些与学生 的经历相关、能激发学生兴趣的现实问题是首选的。
三、建立数学模型的步骤 根据个人的教学经验，认为数学建模的建立，需以下步 骤：“模型的假设与准备―――模型的建立与求解―――模 型的检验与分析―――模型的应用与总结。”１．模型的假 设与准备。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行 必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌 握对象的各种信息．弄清对象的特征，用数学语言来描述问 题及其本质。２．模型的建立与求解。在假设的基础上，利 用对象的内在规律和适当的数学工具来刻画各变量之间的 数学关系，建立相应的数学结构。利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种 传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所 有参数做出计算（估计）。３．模型的检验与分析。将模型 分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、 合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果 给出其实际含义，并进行解释．如果模型与实际吻合较差， 则应该修改假设，再次重复整个建模过程。对模型解答所得 结果进行数学上的误差判定，数据稳定性等分析。４．模型 的应用与总结。应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
数学建模的过程是提升学生数学能力的必由之路与有效手 段。事实上，所有的公式、定理的教学都是数学建模的教学。
其中，公式、定理结论的发现、正确性的验证、结构的提炼、 符号化表征就是建模过程；
将具体问题的条件、结论结构与 模型特征对比分析，并转化为熟知的公式、定理的条件，使 演绎或运算过程简化，这个过程就是模型运用过程。
四、培养学生数学建模素养应注意的地方 教学中应以学生为中心、以问题为主线、以培养能力素 养为目标来组织教学工作。如在教学代数式方面的知识时， 让学生充分体会一次函数、方程、不等式的意义，关注概念、 法则、性质等形成的过程，重视法则、性质在解决实际问题 中的运用，培养识别图表信息的能力。２．加强对学生数学 技能的训练，如解方程或方程组。将数学与现实、静态与动 态结合在一起。教学中不仅关注数学内容的掌握，还特别注重应用意识。引导学生善于用数学知识和思想方法分析生活 中的数学现象。３．改变学生的学习方式。数学建模是一个 综合性的过程，它具有问题性、活动性、过程性、探索性， 因而它不同于单纯的数学解题，这给学生学习方式的改变带 来了很大的空间。总之，建模教学，既不是凭空创造新结论， 也不能一切都模型化。教学中要通过定理、公式的归纳与证 明、发现与推导、选择与运用，培养学生的建模意识，并在 这个过程中积累解决数学问题的经验。教材规定：“经过证 明的真命题称为定理”，数学中被证明的真命题不计其数， 为什么不是都称为定理、公式呢？例如，“一线三等角”问 题，只需等角转化便能解决，况且其特征表述复杂，不宜作 为数学模型。在教学中我们会有不少疑问，如“直角坐标系 的中点坐标公式能不能直接用？”“能直接用射影定理 吗？”等问题，这说明教师潜意识里还是以太多的模型记忆 替代数学本质方法的探究。如果任由数学“模型”泛滥，学 生必然要记住无穷尽的数学模型，会留给学生更多的机械记 忆。