梵天塔游戏中的数学
梵天塔游戏中的数学 【摘 要】 在梵天塔游戏中除了蕴含有趣的逻辑推理外， 还可以抽象出数列，深入研究会发现，数字中藏着很多秘密。数列通项公式的得到可以用不完全归纳法猜想得到，然后用 数学归纳法证明，也可以用叠加法推导，这些都是数学中非 常重要和常用的思想和方法。
【关 键 词】 梵天塔游戏；
教学；
数学 数学家陈省身曾为少年儿童题词写下“数学好玩”四个 大字，数学家张景中著有《好玩的数学》丛书，谈祥柏著有 《乐在其中的数学》，数学的好玩在数学游戏中有，又不限 于数学游戏，在数学游戏中感受数学的好玩也有不同层次和 境界，梵天塔游戏能启迪学生心智、开阔视野、增长知识、 锻炼思维、提高数学修养。在梵天塔游戏中蕴含许多值得研 究的数学问题，在玩游戏之前是预料不到的，而且这样的数 学学习是有趣的、有用的，更是必要的，值得我们认真深入 挖掘。
有关梵天塔游戏有一个传说，说的是在古印度有一座大 寺庙，有一方形底座，上面立着三根钻石做的圆柱，在其中 一根上穿了64个大小不同的金环，依照下面大上面小的顺序 排列着。上帝命令僧侣要将64个金环移到另一根圆柱上，移 动规则是每一次只能移动一个金环，而且大的金环不能放在 小的金环上。如果这些工作完成，就是世界消失的日子。
从这个传说自然会产生这样的问题：要移动多少次？需要多长时间？ 从传说的故事开始激发学生研究数学问题的兴趣，于是 又进一步引导学生发现，为了解决上面的问题，先从圆环数 目少的情况研究开始。可以发现，一个圆环，移动1次即可；
两个圆环，需要移动3次；
三个圆环，需要移动7次；
四个圆 环，需要移动15次；
五个圆环，需要移动31次…… 猜想：n个圆环，需要移动多少次？ 若把每种情况的移动次数依次记下来，就形成了一个数 列1，3，7，15，31，……于是上面的问题就转化为一个数 学问题：数列的第n项是多少？也就是说数列通项公式是什 么？项数表示圆环个数，数列的项表示按要求移动圆环到目 标柱上所用的步骤数。
在移动过程中能够发现这样的规律：n个圆环最初按下 面大上面小的顺序穿在第一根柱子上，要移动最下面最大的 第n个圆环，首先必须把它上面的其他n-1个圆环移到另一根 柱子上，再把第n个圆环移到第三根目标柱上，最后再把其 他n-1个圆环移到第n个圆环的上面即可完成所有的任务。
若按要求移动n个圆环到目标柱上所用的步骤数记为an， 按要求移动n-1个圆环到目标柱上所用的步骤数记为an-1， 则由上面的分析知道：an=2an-1+1 从这个数列的递推公式出发有三种方法得到数列的通 项公式。
②式两边同乘2，③式两边同乘22，④式两边同乘23……，最后一个式子式两边同乘2n-2，然后把①式和这些得到 的式子相加得：
an=1+2+22+23+24+……+2n-1 即得：an=2n-1 总之，在知道数列的递推公式的情况下，与方法一一样 使用叠加法来推导数列的通项公式。
方法三：
从a1=1=2-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1， a5=31=25-1…… 可以归纳出结论：an=2n-1 用不完全归纳法得到的结论需要证明，我们可以用数学 归纳法证明，证明如下：
（1）当n=1时，也就是只有一个圆环时，显然移动1次 即可，a1=2-1=1，说明式子当n=1时成立。
（2）假设当n=k时式子成立，即ak=2k-1，也就是按规 则移动k个圆环到指定柱子时，显然移动2k-1次。从前面的 分析我们已经知道，要移动最大的第n个圆环，首先必须把 它上面的其他n-1个圆环移到另一根柱子上，再把第n个圆环 移到第三根柱子上，最后再把其他n-1个圆环移到第n个圆环 的上面即可完成任务。也就是an=2an-1+1，类似容易知道 ak+1=2ak+1，于是ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，也就证明了 当n=k+1时式子an=2n-1成立。
利用数学归纳法，由上面两点证明了移动n个圆环到目标柱上所用的步骤数为：an=2n-1 再回到最初的故事，要移动64个金环，就是当n=64时， 移动次数为：
a64=264-1=18，446，744，073，709，551，615次 若每移动一次用一秒，一小时3600秒，一天24小时，一 年365天，一共大约需5840亿年，才能移完。学生从来不会 想到264竟然是那么大的数字，有了这次经历，他们对数的 认识又加深了。
上面的问题如果再加一限制条件，每次移动金环只能移 到相邻的圆柱上，问需多少次才能移完？可以作为另外的思 考题目，让学生进一步课下研究。
总之，在梵天塔游戏中，除了蕴含有趣的逻辑推理外， 还可以抽象出数列，深入研究会发现，数字中藏着很多秘密。
数列通项公式的得到可以用不完全归纳法猜想得到，然后用 数学归纳法证明，也可以用叠加法推导，这些都是数学中非 常重要和常用的思想和方法。
【参考文献】 [1] 刘淑珍. 游戏中的数学[J]. 文理导航（教育研究 与实践），201（5）. [2] 徐维娣. 妙用游戏，激活数学课堂[J]. 小学教学 参考，2016（14）. [3] 吴向红. 游戏：一种有效的数学学习[J]. 科普童 话（新课堂）（上），2016（3）.课堂内外·教师版