数学教学追踪研究改革效果
数学教学追踪研究改革效果 一、研究背景与问题 我国于2001年启动的新一轮基础教育课程改革，是一次 涉及教学理念、教材、课堂教学及学生学习的全方位改革。在课程改革实施的十年间，教师作为改革的实施者，经历了 理念的学习、尝试，到逐步领会运用到实际课堂教学中，在 不同的实施阶段，学生的学习方式与学习效果发生了不同程 度的变化，同时也引发了相关的问题及挑战。例如，已有对 课程改革实施的研究发现，新课程的学习内容宽泛多了，学 生经常能够接触社会，从生活中去学习；
作业形式丰富多样， 活动性作业比书面作业明显增多；
［1］教师讲、学生听、 死记硬背、机械训练、单一的接受性学习的现象减少了，学 生自主学习、相互协作、主动探究等方式在课堂中得到运用。
［2］一些研究也发现了改革中存在的问题，如课堂教学中 一味追求课堂活跃的氛围，注重了学生情感、态度的培养， 却忽视了“双基”的落实；
［3］热衷回答的多元化而忽视 了解答的优化，课堂“自主”变成了“自流”；
［4］有活 动没体验，合作中缺少独立思考；
师生的对话降低为浅层次 的问答，一些课堂的探究、合作与交流流于形式。［5］不 同研究者对课程改革实施的成效、有关困惑与问题的研究， 对于揭示与理解课程改革的理念与实施提供了重要的参考。
但从现有对课程改革的评估研究来看，绝大多数在研究设计 上，仅仅横断考察了某个时间点新课程改革实验区的实施状况，缺少有关对新课程改革的持续追踪研究，难以揭示真正 由于新课程改革的实施所带来的课堂与学生学习的变化。特 别是在课程改革实施中，一些困惑或争议一直未得到澄清， 对这些困惑的考察，需要通过学生发展的多指标、多方法的 追踪设计才能比较明晰、客观地揭示与反思新课程改革所带 来的成效和问题。课程改革的效果最终要体现在学生的学习 与发展上，本研究以小学数学学科为例，通过学生发展的多 重指标与大样本的追踪，考察本次新课程改革的成效与问题， 以期对进一步改善与深化基础教育课程改革的理念，提高基 础教育的质量，提供一定参考。研究拟解决的研究问题如下。
（1）新课程是否提高了学生对数学的基本理解与计算能 力；
（2）新课程是否提高了学生的问题解决能力、数学交 流及应用意识；
（3）新课程是否提高了学生学习数学的兴 趣与形成良好的数学素养。
二、研究方法 （一）研究对象的选取 考虑到我国各地区的差异性，为保证研究的代表性，本 研究选取处于中原地区河南省某市的学校与学生作为抽样 样本。采用随机抽样的方式，在该市经济文化发展相对均等 的两区各随机抽取10所学校，每所学校随机抽取五年级三个 班级的学生，共60个班级的3690名学生参加了测试，其中有 效被试3415名，包括使用新课程学习的学生人数1595人；
使 用原有课程学习的学生人数为1456人。①对这60个班级的全部学生进行学习成果的追踪评估，学生分别在五年级上学期 （2005年12月）、六年级上学期（2006年10月）和六年级下 学期（2007年4月）各接受一次测试。
（二）测量工具学生数学学习的测试工具包括三个部 分：一是考察基本的数学理解与计算能力包括计算题与简单 问题解决题目；
二是考察复杂问题解决能力的测试题；
三是 学生对数学学习的兴趣。
1.简单问题解决与计算题简单问题解决测试部分由12 道多项选择题组成，以评估学生的简单问题解决能力。［6］ 这些题目包括问题转化、问题整合与计划监控三个维度。计 算题一共14道选择题，包括了不同运算（加减乘除）与数字 类型（整数、小数与分数）。三次测试中，第一次测试的题 目与后两次测试的部分题目有所不同，主要是第一次测试后， 根据各项目的难度与区分度结果，将难度与区分度比较小的 题目删掉，用新的题目来代替；
②由于选择题有唯一正确的 答案，在评分上，答对1题得1分，答错或未答的都为0分。
2.复杂问题解决本测试题分A、B卷，每份测试卷共有6 道数学问题解决的任务，其中包括过程限制（可以用标准算 法或某一算法的变形能够解决的）与过程开放（没有固定或 标准的解决方法）两类问题，以考察学生的高水平数学思维 能力，例如问题解决策略、数学表达与应用意识等。这些问 题要求学生自己写出全部的解答过程，如列式计算、解决策 略、解释自己是如何去思考的（见附录）。三次测试中，每个学生每次间隔做不同的测试题，同桌两位同学之间同一次 测试尽可能做不同的试卷。基于已有相关研究提供的开放题 评分规则，本研究就每题按解答步骤、答案与解释清晰度三 方面制定了一个具体评分标准，每题在0～4分之间。评分者 包括有经验的小学数学教师、数学学科以及教育硕士研究生。
为确保评卷的可信度，在评卷之前对评分者进行了统一培训， 接着对评分者评分的一致性做检验，直到每题评分者之间的 一致性达80%以上才开始正式评卷。在正式评卷中，抽取5% 的试卷对每一道题目进行评分者一致性分析，三次测试中评 分者一致性的平均百分比分别为87.6%、89%、88%，具有比 较好的信度。
3.数学兴趣与素养学生对数学学习的态度与看法的测 量工具包括四个方面的内容，具体包括：对数学的兴趣与爱 好、对课堂学习的参与性、数学交流的素养；
对数学学科的 看法。问卷共有35个项目。本问卷采用等级评定法，分为“非 常不同意”、“不同意、说不准”、“同意”、“非常不同 意”五个等级，依次记1～5分。为避免答题定式的影响，问 卷中的一些项目采用了不同的陈述方式（逆向题），在计分 时作了相应的分数转换。
（三）数据分析与管理工具本研究用SPSS18.0对数据进 行分析与管理。
三、研究结果 （一）新课程是否提高了学生基本的数学理解与计算能力？考查学生在计算题与简单问题解决上的表现可以回答 此问题。从答对率上看，两组学生对数学的基本理解与计算 能力均有较好表现与发展，其三次追踪测试的平均答对率均 超过80%（使用新课程学生：80%、84%、87%；
使用原课程学 生：75%、89%、92%）。表1显示了使用新课程学生与使用原 课程学生在三次测试中的计算题与简单问题解决的得分比 较。多元方差分析表明，从整体上看，两组学生在三个时间 点的两类题目上的得分均表现出显著差异［F（3，3395） =57.048，p=.000；
F（3，3392）=62.959，p=.000］。（见 表1）具体到每个时间点各类题目得分的差异看，第一次测 试中，两组学生在三类测试题目上均表现出显著的差异，尤 其是在计算题与简单问题解决方面，使用新课程学生平均得 分高于使用原课程学生，虽然两者的平均得分差异不到1分， 但这个差异达到统计意义的显著性水平［F（1，3394）=71.249， p=.000；
F（1，3394）=44.216，p=.000］。在第二次测试 中，两组学生在计算题上表现出显著差异，与第一次不同的 是，使用原课程学生的计算题平均分明显好于使用新课程学 生，但这个差异从绝对数值来说并不大；
在第三次测试中， 两组学生在两类题目上均表现出显著的差异，使用原课程学 生在计算题与简单问题解决方面明显好于使用新课程学生 ［F（1，3398）=128.947，p=.000；
F（13398）=12.203， p=.000］。尽管其平均数的差异都比较小，但由于样本量比 较大，都达到了统计意义上的显著性水平。从三次时间点的追踪来看，不管是使用新课程还是使用原课程的学生，他们 在计算题［使用新课程组：F（2，3978）=169.245，p=.000；
使用原课程组：F（2，2748）=978.706，p=.000］与简单问 题解决［使用新课程组：F（2，3978）=402.908，p=.000使 用原课程组：F（2，2748）=311.80，p=.000］方面的平均 得分都有明显的增长趋势，而且两组学生的表现都比较好， 表现在其三次的答对率都比较高，特别是计算题。从两组学 生的比较来看，重复测量的方差分析表明，是否使用新课程 与测量的不同时间点之间表现出明显的交互效应［F（26726） =205.935，p=.000；
F（2，6726）=8.724p=.000］，说明使 用新课程与否的学生在三个时间点的增长趋势呈现出不同 的特点，使用新课程学生的计算题得分在第一次测试中明显 高于使用原课程的学生，而在后两次测试中则低于使用原课 程的学生；
从发展速度看，从第一次到第二次测试中，使用 原课程学生答对率①的提高幅度高于使用新课程的学生，从 第二次到第三次测试中，两组学生答对率的提高幅度趋于相 同，说明使用原课程学生的提高幅度主要表现在第二次测试 中。在简单问题解决成绩方面，两组学生之间的差距表现出 缩小的趋势，到第三次测试时使用原课程的学生超过使用新 课程的学生。也就是说，从发展速度看，使用原课程学生在 对数学的基本理解与计算能力的发展或提高稍快于使用新 课程学生。
（二）课程改革是否提高了学生的数学思维、交流能力与应用意识？对于学生的数学思考与交流能力，本研究主要 从学生在解决复杂问题时所表现出来的正确性、解决策略以 及思维的表征形式三个方面进行考察。表2列出了两组学生 在解答6道复杂问题的总体平均分。从三次测试时间点的成 绩来看，两组学生在复杂问题解决的平均分表现出明显的增 长趋势［使用新课程组：F（2，4046）=169.245，p=.000；
使用原课程组：F（2，2748）=439.985，p=.000］（见下图）。
重复测量的方差分析表明，是否使用新课程与不同测量时间 点之间在复杂问题解决的平均分［F（2，6832）=11.209， p=.000］表现出明显的交互效应。从下图可看出，使用新课 程学生的解决复杂问题的平均分在三次测试中均高于使用 原课程的学生。从发展趋势来看，两组学生的差异呈现出从 初始较大――减小――增大的发展特点。这说明使用新课程 的学生在解决开放性问题上表现出的数学思考与交流能力、 数学的应用意识比较突出。进一步深入分析两组学生对于复 杂问题解决的状况，例如“打工天数”（见附录）这个代数 问题，其答案不唯一，其解决的过程也是开放的，通过这个 问题的解决可以探查使用新课程学生与使用原课程学生数 学思维的开放性与数学思考的灵活性。对两组学生解答各开 放题的质性分析与量化差异检验表明，使用新课程的学生在 三次测试中有两次（第一次与第三次测试）明显好于使用原 课程的学生。这在学生解决此问题提供的答案数量上可以得 到体现。与使用原课程学生相比，使用新课程学生提供两个或两个以上不同正确答案的学生百分比更高一些，特别是在 第一次测试（使用新课程的学生：77.3%；
使用原课程的学 生：64.7%）与第三次测试（使用新课程的学生：81.1%；
使 用原课程的学生：77.8%），表明使用新课程的学生在用数 学的眼光解决现实情境问题以及数学思维的开放性方面表 现出一定优势。
（三）新课程是否提高了学生学习数学的兴趣与形成良 好的数学素养？表3中列出了两组学生在数学学习兴趣、课 堂参与、对数学学科的看法与数学素养方面的平均得分（最 高为5分）的比较。从整体上看，在三次时间点的追踪测试 中，使用新课程的学生与使用原课程学生在这四个方面的发 展均未出现明显的增长趋势。但从两组的比较来看，使用新 课程的学生在三次测试中数学学习的兴趣与数学素养均明 显高于使用原课程学生；
在课堂参与及对数学学科的看法上， 虽然使用新课程的学生的得分高于使用原课程的学生，但这 些差异并未达到显著性水平。（见表3）在数学学习兴趣方 面，从两组学生三次时间点的追踪看，重复测量的方差分析 表明，学生在是否使用新课程与不同时间点的平均得分之间 表现出明显的交互效应［F（2，6768）=3.269，p<.01］， 即两组学生在三个时间点的发展趋势表现出不同的特点。从 三次时间点的追踪来看，两组学生的数学学习兴趣均表现出 明显的变化趋势［使用新课程组：F（2，4004）=66.128， p=.000；
使用原课程组：F（2，2764）=34.118，p=.000］，使用新课程组学生三次测试中学习兴趣的平均分差异主要 表现在第一次明显高于后两次，而使用原课程学生三次测试 的平均分均表现出明显差异。结合表3可以看出，在三次测 试中，使用新课程学生的数学学习兴趣都明显高于使用原课 程学生，但使用新课程学生表现出先下降后平稳发展的趋 势；
使用原课程学生的数学学习兴趣三次均处于下降的趋势。
四、讨论研究结果表明，两组学生对数学的基本理解与计算 能力均有较好的表现与发展，其三次追踪测试的平均答对率 均超过80%（使用新课程的学生：80%、84%、87%；
使用原课 程的学生：75%、89%、92%）。使用新课程的学生对数学的 基本理解与计算能力在后两次的测试中较低于使用原课程 学生，这个差异达到了显著性水平（p<.001）。从对复杂问 题解决的量化与质性分析的结果看，与使用原课程学生相比， 使用新课程的学生在高层次思维能力方面表现出明显的优 势，说明新课程比较明显地提高了学生的问题解决能力、数 学表达与交流及应用意识。
综合以上两个研究结果，概括起来可以说，新课程提高 了学生的高层次数学思维能力与对数学的应用意识，但并没 有以明显降低或牺牲学生对基本的数学理解与计算能力为 代价，学生的高层次思维能力与对数学的基本理解与计算能 力趋于平衡性发展，是新课程改革的一个主要成效。这一研 究结果与其他研究者对相关数学课程改革①研究的结果基 本一致。［7如研究者在考察了美国现行数学标准课程对学生成绩的影响后指出：“对小学数学课程改革的研究无一例 外地发现，使用改革课程的学生在概念理解与数学问题解决 能力方面的表现明显好于使用传统课程的学生，而在数学的 基本技能方面两组学生的差异不明显”。［8］对中学课程 改革的研究同样发现，新课程确实推动了学生从基本技能到 更深层的数学思维能力的发展，但没有降低其他方面的能力。
［9］本研究同样发现，使用新课程的小学生在高层次数学 思维能力较使用原课程学生表现出明显的优势；
而且，使用 新课程的学生在对数学的基本理解及计算能力方面的优势 不如使用原课程学生。如何看待这一研究结果？也就是说， 学生在对数学的基本理解及计算能力与高层次思维能力的 发展状况是否体现了课程改革努力的方向。我们尝试从三个 角度来分析与阐述这个问题。首先，需要在更广阔的国际比 较背景下，检视中国学生数学学习的优势与不足。过去几十 年来，一些跨国比较研究经常表明，在学习和掌握常规学习 任务方面中国学生的表现胜过西方国家的学生；
［10］现有 数学测试国际结果都显示：中国学生的数学学习成就明显好 于西方国家的学生。［11但陆续的研究也显示，中国学生的 数学优势更多表现在基本的计算技能与简单的问题解决方 面而在解决现实问题与复杂的开放性问题上，中国学生并没 有表现出优势。［12］因而，具备熟练计算和常规问题解决 的能力不一定意味着同时具备解决非常规性问题或创造性 问题解决的能力，进而说明解决非常规问题能力的学习和培养有别于对数学的基本理解与计算能力的特别的学习与训 练。譬如对数学的基本理解与计算能力，作为一种对基础知 识与基本技能的获得，通常需要记忆、理解、模仿与反复操 练，培养学生对基本技能或解题技巧的熟练度与自动化，即 “熟能生巧”；
［13］而非常规性问题的解决过程或结果往 往具有开放性与探究性特点，这类问题通常没有固定或常规 的技巧来解决，更需要发散性思维与创造性的解决策略，这 就要求教师要为学生创造一个互动开放、探究交流与思维相 互激发的学习环境，培养与形成学生高层次数学思维与交流 能力。
中国学生在基本的数学理解与计算能力的优势并没有 在高层次数学思维能力上表现出来，这是否反映了我们的学 校教育在发展学生这些不同的数学能力方面有所失衡？一 个尚未解决的亦需要我们进一步思考的问题是，我们的学生 在基本的数学理解与计算能力的发展是否以牺牲了高层次 数学思维能力的发展为代价？为兼顾学生在各方面的平衡 发展，如何对教与学的时间与精力进行合理的分配，是关系 到基础教育质量的重要问题。这也正是新课程关注的问题之 一。其次，需要坚持与进一步深化新课程改革的方向。本研 究的结果表明，使用新课程的学生在对数学的基本理解与计 算能力的表现不如使用原课程学生表现突出，这是否可以说 课程改革倡导发展学生的高层次思维能力一定是以牺牲了 学生基本的数学理解与计算能力为代价呢？仔细分析可以看出，使用新课程学生在基本的数学理解与计算能力的表现 与发展相对不如使用原课程的学生，但其平均分的差异不到 1分，而且整体上使用新课程学生具有良好的表现，特别是 最后一次（2007年）测试的平均答对率在87%；
同时使用新 课程学生在高层次数学思维方面的表现明显好于使用原课 程的学生。从学生发展的角度看，课程改革试图平衡学生的 基本理解与高层次数学思维能力的协调发展。一个理想的状 况是，学生在数学能力各方面发展是均衡的。但学校教育中 的教与学总是在有限的时间与精力内进行，而且在各方面时 间与精力的投入并不是完全一样的。
课程改革的任务在于如何按照学生现实的状况与对学 生未来发展的期望，对教学与学习的方向及资源（包括时间） 进行重新调整与合理的分配。如课程改革可能较少地强调单 独的计算技能与练习，可能减少了相应练习的时间而用比较 多的时间来发展学生的问题解决能力、数学交流能力等；
而 计算技能的熟练度与准确性又是需要时间去练习与强化的， 当这部分的时间投入少了，可能会导致学生计算技能在一定 程度上的下降。这里就会产生一个关于学校教育的一个基本 价值观问题，即这个时间与精力的调整对学生发展来说是否 是值得的？从本研究所获得的初步结果可以说明，课程改革 所进行的关于学生各方面数学能力发展的调整与平衡，从学 生发展的长远利益看，应当说是值得的。最后，需要进一步 探讨基本数学理解及计算能力与高层次数学思维发展的关系问题。为了研究的方便，目前学术界通常将学生的数学能 力二维地划分为基本的数学理解或“双基”与高层次思维能 力，而且存在一些看法如关注发展某一方面就必然会降低或 牺牲另一方面的发展；
或者强调发展某一方面，就忽视了另 一方面的发展。这其实割裂了以上两种能力之间的内在联系。
高层次思维能力的获得总是以一定的基本知识与技能为基 础的，［14］离开了对数学的基本理解与技能，高层次能力 的发展就如空中楼阁；
而高层次思维能力的发展有助于加深 与拓展对基本知识与技能的理解，所以两者并不是对立的。
本研究的实证数据也表明，学生在对数学的基本理解与 复杂问题解决的平均分之间表现出显著的正相关。课程改革 中需要进一步正确认识两者之间的关系，即基本能力的发展 如何与高层次问题解决能力协同发展。在改革实施中，不应 只是将两者并重，更应认识到“能力”很难抽离于“内容” 而割裂培养，问题在于“怎样在讲解数学知识的同时，将其 作为培养深层能力的基础”。也就是说，我们应将基本数学 知识的学习融入问题解决的过程中，培养学生的数学思维与 交流及应用意识，形成高层次思维能力；
同时在有意义的问 题解决情境中观照最基本的数学知识的理解与计算技能的 培养，将数学知识与数学能力的发展始终看做学生数学学习 这样一个整体链条上相互作用的点。［15］上述有关在新课 程环境下学生在数学的基本理解与高层次思维能力方面表 现出更为平衡发展的初步结论，还需要更多实证研究的验证：一是需要研究这些不同的数学学科能力之间的关系特 点；
二是需要在实施新课程过程中，进一步对学生在这些不 同方面的数学学习作持续的追踪评估；
三是需要来自国际比 较的实证研究以考察中国学生在多种不同数学学科能力方 面的表现。