微分中值定理中学数学论文
微分中值定理中学数学论文 一、微分中值定理的推广 1.罗尔中值定理罗尔定理中，当函数y=（fx）能够满足 闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导；
（fb）=（fa）， 至少会存在一点ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0，其具体证明 方法：（fx）在闭区间[a，b]连续，若最大值M与最小值m的 存在，当M=m的时候，y=（fx）在（a，b）上是常函数，而 且f′（x）=0恒成立，若最大值与最小值不能相等，在[a， b]上将存在极值点，将其设为x0，因此可得出f′（x0）=0， 至少会有一点ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0。从整个证明过 程中不难发现，若函数（fx）在区间内存在导函数，那么区 间两端必存在相等的极限值。2.拉格朗日中值定理拉格朗日 中值定理中，一般可通过构造函数法、区间套定理将罗尔定 理在拉格朗日中值定理中的作用进行证明。若函数（fx）在 （a，b）中可导，而且在两个端点存在左右极限，便会得出 这样的结论。
二、微分中值定理在中学数学中的应用 1.讨论方程根的存在性问题 中学数学教学中，除二次方程根的问题较为容易，对其 他复杂的方程往往会使学生无从下手，因此可结合微分中值 定理进行分析并解决。通过给定闭区间[a,b]上的函数，只 需保证区间内连续可导，而且以f(a)=f(b)，便可通过罗尔 定理解决方程的判根问题，具体做法为：首先命题条件，再进行辅助函数F(x)的构造，然后将F(x)验证以满足罗尔定理 条件，最后做出命题结论。例如，f(x)在（a,b）上可导， 在[a,b]上连续，证明(a,b)内,2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′ (x)至少存在一个根。对此，可首先使F（x）[（fb） -f(a)]x2-(b2-a2)f(x)，其中F(x)在(a,b)上可导，在[a,b] 上连续，F（a）=f(b)a2-b2f(a)=F(b)。至此，以罗尔定理 为依据，将存在ζ使2ζ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ζ)，在 (a,b)内，2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少有一个根存在。
2.证明不等式 不等式在中学数学中是重要的内容，微分中值定理在其 证明上发挥很大的作用，具体可在不等式两边的代数式进行 不同的选取设为F（x），通过微分中值定理，可得出一个等 式，根据x取值范围对等式进行讨论，如对ln(1+x)≤x(x＞ -1)进行求证，当x=0时，ln(1+x)=x=0；
x≠0时，对于f(t)=lnt, 将1与1+x设为端点，并应用拉格朗日中值定理，在区间内的 ζ使f(1+x)-f(1)=f′(ζ)(1+x-1)，即ln(1+x)=xζ；
当x＞ 0时，ζ>0，0<1ζ<1,因此ln(1+x)≤x；
当x＜0时，0<ζ<1， 1ζ>1、ln(1+x)与x为负值，所以ln(1+x)≤x，即对x＞-1恒 成立。
3.用于求极限 中枢穴中对于极限的问题，很多时候在使用洛必达法则， 为教师及学生带来很大的计算量，但通过微分中值定理可为 较难的极限问题提供有效且简单的方法，主要是通过对某些部分进行辅助函数的构造，通过微分中值定理的使用，得出 极限。
4.函数单调性的讨论 对函数单调性的判断，采用微分中值定理的主要方法 是：当f(x)能够满足闭区间[a,b]连续，开区间（a,b）可导， 那么(a,b)中f′(x)＞0，可推出f(x)在[a,b]上单调增加；
若f′(x)＜0，单调减少。尽管连续函数中的某个点可能存 在无导数的现象，但对函数单调性不会有影响。另外，在中 学数学中可能涉及到利用函数单调性求极值，此时首先可对 函数定义域进行确定，并将f′(x)求出，在对定义域内所有 驻点进行求值，找出f(x)连续但f′x）不存在的点，最后对 驻点及不可导点附近f′(x)的符号变化情况进行讨论，确定 函数极值点，以此求出极大值或极小值。
5.求近似值 中学数学中，微分中值定理在求近似值中的应用也比较 常见，一般只需构造适当的函数，再通过微分中值定理的应 用便可得出近似值。微分中值定理在中学数学中应用较为广 泛，本文主要对其中常见的应用进行探析，并结合微分中值 定理的推广以及其中关于拉格朗日中值定理、罗尔中值定理 与柯西中值定理之间的关系做出相关研究，以此说明微分中 值定理的应用价值。因此，中学数学中教师与学生应注意对 其加以运用，促进数学教学与学习质量的提高。