提升数学概念教学立意的策略
提升数学概念教学立意的策略 数学的育人功能要求教师在日常教学中，以数学概念 发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学思考过程.只 有这样，才能让学生逐步树立从数学的角度看问题的观点， 逐步掌握数学思考的过程与方法，进而学会数学地认识和解 决问题[1].我们“基于动态问题链的‘双径共振’数学教与 学的研究”课题组也针对概念教学进行了如何提升教学立意、 落实育人目标的尝试.经过深入的研究与尝试，我们提出以 下几个方面的教学建议，以期能为教师提供教学的参考. 一、从数学知识内部的发展需要引入 概念引入环节主要是让学生体会和认识学习的必要性， 包括明确学习这一概念的意义，了解概念的作用，引发学生 学习的动机.这是概念引入环节的主要目的和任务[2]. 许多教师能充分关注“数学从现实中来”，采用从实际 引入的方式.如分式概念教学，创设学生感兴趣的、比较新 颖的、当前正在发生的事件作为背景，让学生写出各种分式， 再让学生进行概括，形成定义. 实际上，学生的现实，不仅包括生活现实，也包括数学 现实、其他学科的现实，我们要关注学生的现实，为学习的必要性而引入.但是考虑到初中学生的心理特征正处于从感 性认识上升到理性认识的关键阶段，我们更应关注学生的数 学现实，即努力从数学知识内部的发展需要引入.如平方根 一课中，对于面积为2的正方形边长问题，即x2=2如何求解. 这样的引入以逆运算为认知冲突产生学习的需要，同时，与 数学知识发生发展过程也比较吻合.当然，我们还可以从逆 运算的角度更加深入地开展平方根概念引入教学的研究. 【案例1】 平方根的引入 师：我们已经学过有理数的哪几种运算？ 生（齐答）：加、减、乘、除、乘方. 师：在这些运算中，哪些运算互为逆运算？ 生：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算. 师：对此，你还会有怎样的思考呢？ 生1：乘方有无逆运算？ 师：你讲得太好了！这其实就是本章研究的主要内容.师：既然我们要研究乘方的逆运算，那么让我们一齐来 回顾乘方的内容：乘方的一般形式是an，其中a为底数，n为 指数，an叫作幂. 根据n的不同，我们知道乘方包含一次方、平方、立方、 四次方……n次方……，我们可以选择其中最为特殊的平方 进行研究. 评析：我们对某一数学对象的认识，一般都是先研究它 的某种特殊情况或简单情况，由简入繁，循序渐进，从而更 容易认识它，如小学时我们研究三角形、四边形，我们先研 究它们的特殊情况，如直角三角形、正方形、长方形等. 师：对于平方有无逆运算的问题，我们同样可以先以一 个特殊情况52=25为例进行研究.请大家思考：在式子52=25 中，5为底数，2为指数，25为幂，你认为其中会有几种运算？ 生2：三种，求幂，求底数，求指数.如：
（1）52=（ ），已知底数、指数，求幂的运算；
（2）（ ）2=25，已知幂、指数，求底数的运算；
（3）5（ ）=25，已知底数、幂，求指数的运算. 师：我们已经知道，求52=（ ）即平方运算，那么你认 为平方的逆运算是哪一种运算呢？ 生3：因为我们研究的是平方的逆运算，所以指数2是确 定的.因此平方的逆运算只能是求底数的运算，即求（ ） 2=25. 师：式子（ ）2=25是求一个数的平方等于25. 类似地， 我们可以一般化. 一般地，如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个 数x就叫作a的平方根. 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 显然，开平方与平方运算互为逆运算. 师：我们已经知道求25的平方根是一种运算，即开平方， 那么运算的结果是什么呢？生4：5，因为52=25. 生5：不对，还有-5，因为（±5）2=25. 师：补充得很好！因为（±5）2=25，所以±5叫25的平 方根. 这样的引入设计较为符合数学知识内部的发展需要，也 更能引发学生的数学思考，即模拟数学家的思考方法来研究 知识，让学生经历完整的数学思考过程.同时，这样的研究 过程也为学生研究类似的概念提供了方法的参考.如我们可 以引导学生进行如下的类比思考：现在我们已经知道平方运 算有逆运算开平方，那么立方有没有逆运算？叫什么？你能 得出相关概念吗？类比得出：x3=a，那么这个数x就叫作a的 立方根.求一个数的立方根的运算叫作开立方. 也就是说这 样的概念的引入方式更具可迁移性，这显然对学生的数学思 考，甚至学习能力的培养更有帮助. 二、让学生充分参与概念本质特征的概括活动 让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动 活泼、优质高效的关键.这就要求我们一方面充分利用新旧 知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；
另一方面要让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参 与.其中对于定义性概念，要注意以下两方面的问题. （一）提供合理的例证 【案例2】 分式本质属性的概括 浙教版教科书在分式概念学习时提供给学生如下几个 代数式的例证，希望学生在概括其本质属性的基础上得出定 义[3]. 由这几个例证，学生能比较容易地概括出除式中含有字 母，大多也能概括出分子分母都是整式.但由于例子提供不 合理的原因，不少学生还概括出了“分子分母都是一次式” 这一非本质属性.如果我们将例证改成如下形式，就可以避 免这一情况的发生. （二）设置分类活动 【案例3】 一元一次方程本质属性的概括 一元一次方程概念教学中，我们会给出如下的问题，请 学生概括其本质属性.问题：观察以下几个方程，请找出它们的共同特征. 三、通过精细加工明确概念的内涵与外延 正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概 念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量” 的范围.概念的内涵是概念的本质属性的总和；
概念的外延 是指具有概念所反映的本质的全体对象.在通过概括活动基 本把握概念的内涵之后，我们还需要通过更精细的加工，进 一步明确概念的内涵与外延. （一）提供充足的概念的正例（原型、变式）与反例 概念的正例，主要是反映概念本质属性的.在数学概念 中，正例主要体现为原型和变式两种类型.数学概念的原型 是具有表征数学概念本质属性的最典型的标准实例.它是数 学概念所有例子中的中心样例.因而，原型在概念学习中具 有重要地位，学生一想到概念最容易联想到的也是原型. 学习数学概念最终必须掌握其本质属性，这些本质属性 在概念的各种例子中是相同的，但由于许多无关特征的干扰， 使得概念的本质属性往往隐藏很深，仅从原型的标准特征上 难以真正把握其本质属性.因此，必须通过各种变式比较，排除由具体对象本身的非本质属性所造成的干扰，才能充分 揭示概念的本质属性，真正形成概念.例如，“同位角”的 概念，如果学生过于关注原型，则会误认为“平行性”也是 这一概念的本质特征，从而影响概念的准确把握.因此，必 须提供变式帮助学生排除“平行性”这一非本质特征. （二）通过类似概念的对比，准确把握概念的细节 用对比方法找出容易混淆的概念的异同点，有利于学生 区分概念，获取准确的知识.如学完单项式、多项式、整式 的概念后，可以让学生指出哪些是单项式，哪些是多项式， 仔细观察后并说明单项式与多项式的联系.再如，在学习“一 元一次不等式”时，就可以与“一元一次方程”进行对比学 习，在“一元”与“一次”上是相同的，不同的是前者含不 等号，后者含等号，以及它们的解法都进行类比、对比学习， 可以加深对知识的理解.对于易混淆的概念的最主要区别要 特别强调，如“整式乘法”与“因式分解”的区别，主要是 积化和差或和差化积的过程；
轴对称图形与图形成轴对称的 区别，主要是一个图形与两个图形的区别；
一个角的平分线 与三角形的角平分线主要是射线与线段的区别，等等.这样 对概念的辨析、概念间联系的分析等过程，就是对概念的内 涵进行“深加工”，对概念要素做具体界定的过程，让学生 通过对概念的对比，能更准确地把握概念中的细节，加深对概念的理解. 参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 （2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：3. [2]曹一鸣，张生春.数学教学论[M].北京：北京师范大 学出版社，2010：148. [3]义务教育教科书数学教学参考书（七年级下册）[M]. 杭州：浙江教育出版社，2014：114. [4]义务教育教科书数学教学参考书（七年级上册）[M]. 杭州：浙江教育出版社，2014：115.