投资问题及数学建模论文
投资问题及数学建模论文 1数学建模方法的研究 1.1简述数学及数学建模 美国科学院院士Glimm在他编著的《数学科学、技术和 经济竞争力》的报告里指出：“数学科学对于经济竞争是生 死攸关的”，认为“在数学科学里，技术转化远低于其潜力” “，这种由研究到技术转化，对加强经济竞争力具有重要意 义”。从而，数学向一切领域渗透以及实现数学科学技术转 化，是当代数学发展最具生命力的方面。近代计算技术的快 速发展，为数学的发展提供了最有力的工具。在高新计算机 技术支持下的数学建模，成为目前发展数学向一切领域渗透 及数学科学技术转化的主要途径。由于利用数学方法解决实 际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型，而建立一个 较好的数学模型成为解决实际问题的关键。1.2对模型与数学模型的认识 一般地说模型是我们所研究的客观事物有关属性的模 拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质。好的模型 应当具有它所模拟对象的主要功能。例如：航模飞机就是对 于飞机的一种模型。但模拟不一定是对实体的一种仿制，也 可以是对某些基本属性的抽象。例如：日常生活中使用的各 种图纸。那么什么是数学建模呢？数学建模就是指将某一领 域或部门的某一实际问题，经过抽象简化、明确变量和参数， 并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行 解释和验证。若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新 对问题的假设进行改进。按照E.A.Bender的提法，认为数学 模型乃是“关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化 的数学结构“。由于个人的讲法不一，不必过于追求严格的 定义。总之，数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、 数学式子、程序、图形等刻画客观事物的本质属性与内在联 系，是现实世界的简化而又本质的描述。它或者能解释事物 的各种性态、预测它将来的性态，或者能为控制这一事物的 发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。例如，在科学 发现上比较有名的万有引力定律的发现是牛顿在力学上的 重要贡献之一，正是为了建立这一定律，他发明了微积分方 法，通过数学建模的方法，推导出万有引力定律。
1.3数学建模的一般步骤 由于数学建模面对的是现实世界中的形形色色的事物， 不可能用一个统一的格式来说明，下面大致归纳建立数学模 型的一般步骤。1）了解问题的实际背景，明确数学建模的 目的，掌握必要的数据资料，为进一步数学建模做准备。为 了做好这一步工作，有时要求建模者作一番深入细致的调查 研究，有时需向有关方面的专家能人请教，以便掌握较为可 靠的第一手资料。2）在明确建模目的，掌握必要资料的基 础上，抓住主要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当 的假设。十六世纪初，著名天文学家开普勒正是在第谷二十年积累起来的资料基础上，提出了科学的假设。如果当时没 有开普勒的假设，人们对现实世界天文学的感性认识就不可 能迅速上升到理性的阶段。一般在提出假设时，如果考虑的 元素过多，过于繁复，会使模型过于复杂而无法求解，考虑 的因素过少、过于简单，又会使模型过于粗糙得不出多少有 用的结果而归于失败。此时，应当修改假设重新建模，一个 较理想的模型往往需要经过反复多次地修改才能得出。3） 之前已经根据问题背景提出了适当合理的假设，在此基础上， 各变量之间存在某种关系，采用恰当的数学工具来表示以上 这种关系，为其构造相对应的数学结构，根据构造的数学结 构建立相应的数学模型。在建立数学模型时要综合考虑建模 所要达到的要求目的、问题的特征的问题，此外还要考虑负 责数学建模人员的数学特长等问题。在建立数学模型时可能 会用到任意一个数学分支，即使是同样的问题也可以建立不 同的数学模型，只因所采用的数学方法有所差异。人们可以 采用多种数学方法达到所预期的要求目的，通常在这种情况 下，人们会采用较为简单的数学工具。4)分析并检测所建立 的数学模型。人们之所以建立数学模型是为了解决问题，更 好的解释自然现象并改造自然以此来满足人们生活需要，所 以说数学建模不是我们的最终目的。在建立数学模型时我们 应该充分考虑模型求解的问题，模型求解包括以下几部分内 容：逻辑推理、图解、解方程、定理证明、讨论稳定性等。
建立模型并将模型所得结果与实际情况进行比较，通过这种比较来检测数学模型的正确性。通常，一个较成功的模型不 仅应当能解释已知现象，还应当能预言一些未知的现象，并 能被实践所证明。例如：牛顿创立的万有引力定律就经受了 对哈雷彗星的研究、海王星的发现等大量事实的考验，才被 证明是完全正确的。如果经验结果与事实不符或部分不符， 就应当象前面所讲的那样，修改假设，重新建模。综合起来 讲，数学建模的一般过程可以概括为：从实体信息（数据） →提出假设→建模→求解→验证→修改→应用的一个反复 完善的过程。
1.4数学建模中应当注意的两个方面 1）要具备广泛的数学基础知识，懂得它们的背景含义 及各种数学应用问题的解法。2）重视观察力和想象力的培 养。要学会数学建模除了要学会灵活应用数学知识外，还应 当注重培养自己的观察力和想象力。著名科学家爱因斯坦曾 经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想 象力概括着世界上的一切，推动进步，并且是知识的源泉”。
2对投资问题数学模型的探讨 当国家或地区财力有限时，要使有限的投资能发挥出最 大的效益，必须制定最佳投资方案，使国民经济获得最优增 长。关于投资问题就是经常要提到的一个重要问题，下面采 用数学方法建立模型，并对某些结论进行讨论。社会生产可 以分为两大部类，第Ⅰ部类和第Ⅱ部类。第Ⅰ部类的生产是 用于非消费品的生产；
第Ⅱ部类的生产是消费品生产。经济学理论分析，用于第Ⅰ部类的生产资金是通过消费品的生产 转化来的，同时生产出来的第Ⅰ部类产品，在一定时期内又 服务于消费品生产。那么，要使投入生产的总资本产生最大 的经济效益，需确定资本的最佳投入。
2.1投资问题数学模型的建立 假设1)t时刻，国家投入生产的总资本为 K(t),K(0)=K0,K(T)=KT,K0与KT是已知量，国民经济总收入 为Y(t),并且有Y(t)=〔fK(t)〕,（1）其中〔fK(t)〕是生产 函数；
2）国民收入主要用于两方面，消费资金C(t)和扩大 再生产的积累资金I(t),且有Y(t)=C(t)+I(t)（2）消费资金 产生的效益记为U〔C(t)〕,消费越高，为生产带来的效益越 大，因此3）人是劳动力资源，从t=0到t=T这段时期内，劳 动力保持不变。在上述假设下，考虑最佳投资方案，即确定 投资函数K(t).当充分小时，有，令，得，（3）（3）式表 明t时刻用于扩大再生产的资金正好是t时刻总资本的变化 率。将（1）式（、3）式代入（2）式得到关于K(t)的常微 风方程（4）现在的问题是求K(t),使得（5）约束条件为 K(0)=K0,K(T)=KT，状态方程为求最佳投入资本的问题归结 为解具有固定端点的变分问题（5）.注意到，得变分问题利 用Euler方程得常微风方程（6）因为，所以（6）式就变为 （7） 2.2模型探讨 2.2.1具有折扣的最佳投资模型若上述假设条件不变，把任意时刻的消费资金所产生的效益折扣到初始时刻时，那 么（5）式应改写为，约束条件为，状态方程为，其中，称 为折扣率。于是Euler方程为。如果，那么，易得到，其中 的值可由约束条件确定。2.2.2货币贬值和劳动力增长的最 佳投资模型若在这段时间内，考虑货币贬值和劳动力变化的 因素，这时假设：1）是国民收入，是消费资金，是扩大再 生产的积累资金，是时刻投入生产的劳动力总数，有（8） （8）式表明，国民收入不仅依赖于投入生产的总资本，而 且也依赖于投入生产的劳动力总数。2）设国民收入按劳动 力平均计算，平均量为，则有（9）其中是人均资本。3）在 任何时刻，投入扩大再生产的积累资金应包含资本的变化率 和资本贬值的两方面因素，因为资本贬值，需要追加投入总 资本，所以有，（10）其中为常数。4）设投入扩大再生产 的积累资金按劳动力平均计算，平均量为，则有，于是有， 若劳动力的相对增长率为一常数，即，就有，（11）5）为 按劳动力平均的消费资金，改写（8）式为人均收入，有。
以（9）式、（10）式代入上式，得关于的微风方程，现在 要求，使，约束条件为，，状态方程为。当给出U与f的具体 形式时，可以仿照前面的解法，求出人均最佳投入资本。