数学建模在常微分方程的应用
数学建模在常微分方程的应用 摘要:常微分方程是高等院校数学类、信息与计算科学 等专业的重要专业基础课之一。如何使学生在学习过程中掌 握常微分方程的思想方法、具备以常微分方程为理论工具解 决实际问题的能力，是常微分方程教学与改革中必须要解决 的问题。本文结合常微分方程课程的特质，探讨合作学习模 式与数学建模思想融入其教学过程的机理与方式，培养学生 研究学习与创造学习的思维与能力。关键词:常微分方程;合作学习;数学建模思想;教学改 革 “高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划” 的目标是培养具有以创新精神和实践能力为核心的综合素 质的高级人才。具有创新精神和实践能力的人才必须掌握现 代科学技术研究的方法和数学技术，而数学技术主要由数学 分析技术、数学建模技术、数学软件技术、数学实验技术等 组成［1］。常微分方程源于对物体运动过程的数学研究， 是一门应用性很强的学科，在物理、生物、机械工程等领域 都有着广泛的应用。比如，导弹弹道计算与飞机飞行中的稳 定性研究，生物种群稳定性的研究等都归为常微分方程模型 ［2］。就信息与计算科学专业而言，“常微分方程”是“数 学分析”、“高等代数”和“解析几何”的后继课程，又是 “数学建模”、“数值分析”等课程的先修课程，是从理论 向应用过渡的纽带课程。因此，如何在常微分方程课程的教学中突出其应用性与数学模型的思想，是其教学亟待解决的 重要问题。长期以来，以理论推导与计算为主导的教学模式 消解了常微分方程的实践性，以至学生对其应用性缺乏认识。
基于此，本文提出“合作学习模式”与“数学建模思想”相 结合的教学模式，引入开放性题，让学生通过合作学习模式、 应用数学建模思想解决问题，培养学生的创新能力、合作能 力与研究能力。
1合作学习与数学建模 1．1合作学习模式 合作学习兴起于20世纪70年代的美国，经过30多年的理 论研究和实践发展，合作学习已成为世界上许多国家普遍采 用的教学理论与实践策略，被认为是“当代教育理论、研究 和实践中影响最大和成果最多的领域之一”。不同的学者对 合作学习的有着各具特色的研究与推进。美国约翰霍布金斯 大学的Slavin提出了“学生小组成就区分法”，“合作学习 是指使学生在小组中从事学习活动，并依据他们整个小组的 成绩获取奖励或认可的课堂教学技术”［3］。美国明尼苏 达大学的约翰逊兄弟认为:“合作学习就是在教学中运用小 组，使学生共同活动以最大程度地促进他们自己以及他人的 学习。”［4］20世纪80年代末、90年代初，我国学者开始 关注合作学习的研究与应用。王坦认为:“合作学习是一种 旨在促进学生在异质小组中互相合作，达到共同的学习目标， 并以小组的总体成绩为奖励依据的教学策略体系。”［5］黄政杰认为:“合作学习是学生一起工作达成其共同的目标， 此目标不但有利于己，也有利于其他人。合作学习采取小组 学习方式，学生一起学习进而扩大自己和他人的学习。在合 作学习中，所有成员式相互得力的，你的成功也就是我的成 功，我的失败也正是你的失败，这是一种命运共同体的状态， 是属于积极互赖的情景。”［6］合作学习的课堂实施是合 作学习理论在课堂教学中的应用与实践，但是国内大部分的 合作学习的课堂案例都是中小学课程教学，缺乏在大学课堂 教学中的优秀案例。
1．2合作学习与数学建模活动的关系 数学建模于20世纪六七十年代进入西方国家的大学，80 年代初开始进入我国大学。数学建模活动是培养学生自学能 力、合作能力、研究能力和创新能力的有效途径，近年来受 到数学教育者的广泛关注。合作学习，即“学生在小组中从 事学习活动，并以他们小组的表现为依据获得奖励或认可的 课堂教学技术”。在数学建模竞赛活动中，合作学习主要体 现在教师与学生的合作学习、学生与学生的合作学习两个方 面，即在教师的指导下，学生以小组为单位进行学习。因此， 合作学习是数学建模活动重要的组织模式。
2设置常微方程开放性题目 在常微分方程教材中，习题基本上是为了使学生理解和 掌握数学结论而设计的。在这种情况下，学生在学习过程中 往往容易产生以死记硬背代替主动参与、以机械方法代替智力活动的倾向。要改变这种情况，使学生的学习更多地体现 以学生为主体的积极探究精神，适当增加开放题，让学生以 合作学习的方式，应用数学建模的思想解决问题是必要的。
2．1开放题的设置原则 (1)问题导出理论、理论深化问题。常微分方程课程教 学的开放题设置要与教材内容有机结合起来，而不是做成各 自独立的两套系统。比如在讲授一阶和二阶常微分方程内容 时，设置相关的应用性开放题，使学生了解问题背景，能够 学以致用。另一方面，开放题的设置应与微分方程发展的主 流相结合，使学生了解前沿问题的研究进展。这要求教师要 对微分方程、动力系统和非线性科学领域的主流问题有所研 究，从而渗透到起奠基性作用的常微分方程课程的教学中。
(2)针对实际能力、引导探索兴趣。地方高等院校是一个基 础和能力有较大差异的学生群体，大约可以分成三类:A类， 基础和能力较强;B类，基础和能力一般;C类，基础和能力相 对较弱。因此，常微分方程课程教学中开放题的设置，也要 根据学生的能力和水平分层设置，不能“一刀切”。
2．2开放题的解决方法 学生要以小组的形式进行合作学习，结合数学建模的思 想，在老师的指导下解决问题。以下根据笔者的研究方向， 选取常微分方程课程教学中的开放题，通过指导学生解决这 两类问题的过程，阐释课程教学中开放题的解决方法。(1) 生物种群模型。生物种群模型的稳定性问题是笔者一直研究的课题，在常微分方程课程教学中引入相关的生物模型作为 开放题，能够使学生更好地掌握一阶常微分方程理论、应用 和前景。(2．1)是一阶非线性常微分方程，是生物学中最简 单的单种群模型，最早由比利时数学家Verhulst于1838年提 出的描述种群增长过程的数学模型。1920年，美国人口学家 Pearhe和Ｒeed在研究美国人口问题时再次提出这个方程， 称之为Verhulst－pearl阻滞方程，后来被称为Logistic模 型。学生学习了一阶常微分方程的基本理论之后能够求解该 方程。首先，对学生进行分组。共7个人:3个A类学生，2个B 类学生，2个C类学生。其次，提出问题，建立模型。由2个B 类学生查阅资料，分析数据，建模。然后，解决问题。由2 个C类学生根据所学的一阶常微分方程理论求解。最后，分 析问题。由3个A类学生做如下几方面的工作:①结合模型的 建立和求解，分析问题，并提出修改和推广建议。②在老师 的指导下，查阅该问题的研究进展和发展前景。③撰写成文。
(2)振动问题。1831年，英国曼彻斯特的布劳顿桥上一队士 兵齐步通过的时候桥突然坍塌。1940年，美国华盛顿塔克马 大桥突然发生振动，振幅达到28英尺。振动是工程中常见现 象，研究振动规律有着极其重要的意义。近些年，笔者关注 经典的振动方程(2．2)的研究。根据我们的研究成果，在常 微分方程课程教学中引入经典的振动方程(2．2)作为二阶常 微分方程理论的开放题，以使学生更好地掌握二阶常微分方 程理论、应用和前景。对学生进行分组解决开放问题(2．2)的过程和方法同问题(2．1)． 3结语 在常微分方程课程的教学中，通过设置诸如以上的应用 性问题作为开放题目，组织学生分组合作进行研讨，提出建 模的基本思路，然后教师结合常微分方程的思想方法与学生 进行深入研讨，推进问题的解决。在这样的学习过程中，一 方面，教师能够结合具体问题很好地具体向学生解释常微分 方程的基本理论，形成学生对常微分方程的系统认识与逻辑 把握;另一方面，学生在互动中真正体会到合作的意义，在 争议与碰撞中表现了自己的创造性思考与团队意识，形成了 创新思考的内在动力和修正思想的自觉意识。同时，设置开 放题应该注意以下两个问题:一是避免流于形式，问题不要 过大，要注重精细;二是教师要对开放题有一定的研究。
参考文献: ［1］石永福，王立群．现代数学技术及其影响［J］． 西北师范大学学报(自然科学版)，2005(2):94－97． ［2］JI．C．庞特里亚金．常微分方程［M］．林武忠， 倪明康，译．北京:高等教育出版社，2006． ［3］M．C．Wittrock． Thecognitivemovementininstruction［M］． EducationalPsychology，1978(71):60－66． ［4］大卫．W．约翰逊，罗格．T．约翰逊，卡尔．A． 史密斯．合作学习的原理与技巧:在教与学中组建有效的团队［M］．刘春红，译．北京:机械工业出版社，2002． ［5］王坦．合作学习导论［M］．北京:教育科学出版 社，1994． ［6］黄政杰，林佩璇．合作学习［M］．台北:五南出 版社，1996． ［7］余爱华．Logistic模型的研究［D］．南京:南京 林业大学，2003．