在变式训练中培养学生创造性思维以绝对值教学为例
在变式训练中培养学生创造性思维以绝对值教学为例 “科学精神”是《中国学生发展核心素养》中的一个基 本要点，它包含理性思维、批判质疑和勇于探究三方面。其 中的理性思维又包含能运用科学的思维方式认识事物、解决 问题、指导行为等。心理学指出，思维是人脑对客观事物本 质属性与规律的概括的间接的反映。属于人的认识活动。思 维可分为常规性思维和创造性思维。常规性思维是运用人们 已有的知识经验，按照常用的方法来解决问题的思维。这种 思维缺乏创造性，一般不会产生新的思维成果。创造性思维 是用创造性方法来解决问题的思维，创造性思维能产生新的 思维成果。创造性思维是一种连续的思维品质，是思维的深 刻性、广阔性、独创性、敏捷性的综合表现。数学课程标准 指出，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需的数 学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能 力方面的不可替代的作用。“绝对值”是初中数学中的一个重要的基本概念，它也 贯穿于整个初高中数学教学中，它既有几何意义又有代数意 义，既含有典型的数形结合思想，又含有重要的数学分类思 想。因此，在对这个概念进行发掘、拓展与延伸的过程中， 可以训练学生的思维，培养学生的创造性思维。
一、单一变式 从绝对值的代数意义a=a，a＞00，a=0-a，a＜0出发， 可以将a变式为a-1和a+1，这属于单一变式。我们可以从以下三个方面来理解。
1.三者的区别与联系。
这三个代数式a，a-1，a+1在形式上有不同点：a是一个 单项式，a-1，a+1是多项式。
a，a-1，a+1三者间也有联系。我们把a看成a-0，把a+1 看成是a-（-1），这样可以把三者统一起来，理解为a与一 个数m的差的绝对值，即a-m。
2.绝对值的几何意义。
a的意义是：在数轴上，表示数a的点到表示数0的点（即 原点）的距离。a-1表示数a的点到表示数1的点的距离；
a+1 则表示数a的点到表示数-1的点的距离。由此可以归纳为a-m 的意义是：在数轴上，表示数a的点到表示数m的点的距离， 这里的零点是m。
3.绝对值的代数意义。
以上仅仅是a中的a发生变化，称为单一变化，这里弄明 a=a-0，以及a在数轴上的几何意义，便可解决问题。这种思 维的变化可以理解为常规性思维的简单拓展。
二、复式横向变式 从a变到a-1，a+1是单一变化，从a变到a-1+a+1或 a-1-a+1就是复式变化了。我们以a-1+a+1为例来看看学生的 思维又会发生怎样的变化。仍然可以从代数意义和几何意义 两个方面来考虑。
1.代数意义。从代数意义上看，要化简a-1+a+1，就要同时研究a与1 的大小及a与-1的大小。例如当a＞1时，a必定大于-1，此时 a-1=a-1，a+1=a+1，可以很快化去绝对值。但当a＜1时， a-1=1-a，但a+1无法化去绝对值，因为a可能小于-1，也可 能大于-1，还可能等于-1，因此此时既要考虑a＜1，又要考 虑a＞-1，还要考虑的-1＜a＜1情况。这样就对a进行如下分 类：①a＞1，②-1≤a≤1，③a＜－1，（等于也可以放在① 或③中）。
2.几何意义。
从几何意义上看。首先数轴上的零点有两个——1和-1。
它们将数轴分为了三部分，a值可能落在数轴的某一部分， 如图2所示：
我们看到，这里两个绝对值化简的复合，就有质的变化， 要结合两个零点进行研究，从原本数轴上的两部分变为了三 部分。这种从一段到二段再到多段的变化，就显现了分类讨 论的重要性，在此可以引导学生进行创造性的思考。对于 a-1-a+1的化简和a-1+a+1是一样思考的，这两者的变化就属 于常规性思维了。
三、复式纵向变式 从a变到a-1+a+1，a-1-a+1是一种横向变式，从a变到1-a （a＜0）则是一种纵向变式，即绝对值里有绝对值。有两种 思考化简的路径，一是由里往外，先化简a，因为a＜0，所 以a=-a，原式变为1+a，这样就变成单一变式，零点是-1， 结合a＜0，分a＜-1和-1≤a＜0两种情况可化简。二是由外 往里，要先化去外面的绝对值，就要研究1-a的正负性，当a ＜0时，要分a＜-1和-1≤a＜0来进行讨论。
这种复杂的变化，能提示学生在以后遇见类似复杂的问 题，一方面可以转化到已经会做的题目上，另一方面可以注 意有哪些地方发生了变化，就要随之应变，如上面的对a的 范围进行讨论。这样也是对学生的创造性思维的一种训练。
四、延伸性变化 在对a-1+a+1和a-1-a+1的化简中，有些特殊的情况，可 以进行再研究，从而达到更多的思维训练。
1.从范围到最值。
在a+1+a-1=2a，a＞12，-1≤a≤1-2a，a＜-1中，观察 到当-1≤a≤1时，a+1+a-1的值是2，这很特殊，是个定值。
再继续思考，三个值中2是最小值。这样可得到无论a取何值 时，a+1+a-1的最小值是2，即得到了一个最小值问题的解答 方法。
从a+1+a-1的最小值是2，可否联想到最大值呢？上面提 到的a-1-a+1，从代数来看a-1-a+1=2，a＜-1-2a，-1≤a≤1-2， a＞1，最大值是2，最小值是-2。从数轴上来看，就是研究 距离之差，显然a值在-1的左边时，距离之差是2，是最大；
a值在1的右边时，距离之差为-2，最小；
a值在-1和1之间， 距离之差在2与-2之间。继续抽象到一般情况：对于x-a-x-b（b＜a），当x满足x≤b时，x-a-x-b（b＜a）的最大值是a-b。
这样，使学生在类比研究中锻炼创造性思维。
2.从相等到不等。
由相等到不等，从思维角度来看，又会发生很大的变化， 既有可以类推的延续，又会产生不同的变化。
由上面可见，a+1+a-1＞2的解是a＜-1或a＞1。再引申 到若x满足不等式x-3+x+4≥9，求x的范围。此题的代数方法 是先研究零点，再进行分类讨论。而几何数轴方法是直接在 数轴上研究到表示3和-4的点的距离之和等于9的点。便可得 出x≥4或x≤-5。
等与不等本身是矛盾的两个方面，但并不完全是对立的， 在某些时候可以进行类比研究。从等到不等，有这样的思考 意识，会在将来研究问题时思维越来越灵活，创造性的培养 也指日可待。
通过绝对值的延伸与变化，一方面加强了学生对绝对值 的代数意义和几何意义的理解，更使他们对如何深入思考有 了大概的理解，使其思维得到了锻炼，也能逐步培养他们的 创造性思维。数学中类似于绝对值的概念有很多，如果我们 经常抓住这些概念进行延伸性的研究和拓展性的探讨，就可 极大地激发学生的思维，训练学生的思维，从而更好地培养 学生的创造性思维。