数学交流表达能力目标中美两国的比较及启示
数学交流表达能力目标中美两国的比较及启示 数学交流表达是促进数学理解的有效途径之一。从形式 上看，数学交流表达涉及“说”、“听”、“演示”、“观 看”、“辩论”等形式。从对象上看，数学交流表达包括自 我表达和他人交流两类。自我表达是自我沉思和反省，他人 交流是与教师和同学的交流。交流表达能力不仅是数学能力 的构成成分之一，而且对于思维能力、推理能力、问题解决 能力等其他数学能力的培养具有辅助作用，受到中美两国数 学教育界的重视。本研究旨在分析中美两国交流表达能力的 历史、现状、差异及原因等，旨在为中国合理设置数学交流 表达能力目标提出具有启发性的参考建议。一、中美数学问题解决能力的历史背景 1．中国20世纪末开始提出数学交流表达能力，近年来 逐渐重视 1992年中国国家教委颁布《九年制义务教育全日制初级 中学数学教学大纲（试用）》，第一次提出培养学生“正确 运用数学语言的能力”。01 2000年《九年制义务教育全日 制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》对1992年试用版 大纲做了修订，明确提出“用数学语言进行交流的能力”， 要求学生“能够使用语言表达问题、展开交流”“正确用语 言表述问题及解决过程”“加强师生之间、学生之间交流互 动”。2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》 虽然并没有将数学交流表达能力作为目标明确提出来，但在“数学思考”和“解决问题”两个具体目标中蕴含了数学交 流表达能力培养目标的重要要素。在数学表达能力方面，培 养学生“能用数来表达和交流信息”“能选择适当的程序和 方法解决用符号所表达的问题”“能清晰、有条理地表达自 己的思考过程”“初步学会表达解决问题的大致过程和结 果”“能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果”“能 用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释 结果的合理性”；
在数学交流能力方面，培养学生“在与他 人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质 疑”“学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果” “认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具”“能 从交流中获益”。2011年《义务教育数学课程标准(2011年 版)》进一步强调“清晰地表达自己的想法”“学会与他人 合作交流”。总体而言，中国提出数学交流表达能力的时间 比较短，从20世纪末才开始在教学大纲中提出用数学语言进 行表达和交流，近年来重视程度不断提高。
2．美国1973年首次明确提出数学表达能力，近40年作 为数学能力的核心目标之一 1973年，由于美国在20世纪50年代的“新数学运动”因 忽视推理、运算等基本能力而受到尖锐批评，提出了“回到 基础(Back to Basis)”的口号，数学教育转向读、写、算 等基本能力的培养，其中就包括数学表达能力。这一时期的 数学表达能力，是指运用数学语言表示思考数学对象和解决数学问题的过程，阐明自己的观点、意见，包括口头表达能 力和书面表达能力，即包含了读的能力和写的能力。数学语 言由数学符号、数学术语、数学图形和经过改进的自然语言 组成，属于科学化专业语言，一般可分为文字语言、符号语 言和图形语言，其中符号语言是由数学符号表达的语言，表 现为运算符号、公式符号等。通过对这些数学语言的运用实 现对学生读、写、算等基本能力的培养。美国为了扭转中小 学数学教育质量低下的局面，1989年，全美数学教师协会颁 布《中小学数学课程和评价标准》，作为美国有史以来第一 个统一标准。该标准将数学交流能力作为数学教育的4个能 力培养目标之一，培养学生在学习过程中将自己“想到的” “说”给别人“听”，对问题发表看法，讲明道理，采用语 言、动作直观与书面形式进行信息的接收、加工以及传递， 从而实现交流的功能，并将K-12分为幼儿园一4年级、5-8年 级、9-12年级，分别提出数学交流能力目标要求。2000年， 全美数学教师协会修订1989年标准，颁布《学校数学的原则 和标准》，仍然将数学交流能力作为数学能力培养目标之一， 丰富了该能力的内涵。总体而言，美国对数学交流表达能力 的关注时间比较长，自20世纪70年代起，近40年来一直重视 数学交流表达能力的培养，并作为数学教育能力培养的核心 目标之一。
1．中美数学交流表达能力目标的内涵比较 中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，清 晰地表达自己的想法，有条理地阐述自己的观点，学会独立 思考，学会与他人合作交流。中国认为，数学交流是指用数 学语言来传递信息和情感的过程。交流与表达是密不可分的， 在交流中可以更好地理解和使用数学语言和符号，促进数学 思维，拓展知识，数学交流在数学学习和数学活动中是必不 可少的能力。美国2000年《学校数学的原则和标准》提出， 通过数学教育组织和强化学生的数学思维以便与他人交流， 能连贯而清晰地向同伴、老师及其他人表达数学想法，并通 过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识，将数学 语言作为一种数学表达的精确方式来加以使用。美国认为， 当学生向同学或老师解释其推理过程时，当他们明确提出对 自己而言模糊不清的问题时，他们会对自己的思维有比较清 楚的了解和认识。美国的数学表达交流能力主要指与他人交 流，交流的对象是老师、同学及其他人，对该能力的意义和 价值的认识更为深刻，认为交流是数学和数学教育中很关键 的一部分，是分享观点和澄清理解的一种方式。
2．中美数学交流表达能力的培养重点比较 中美两国数学交流表达能力目标都注重与同伴、教师或 其他人交流数学思维的过程，都包括分析和评价他人的思考 方式、策略及结论。中美两国数学交流表达能力的培养重点 相同的是：与他人交流，条理、清晰地表达自己的想法。除 此之外，中美在数学交流表达能力目标上还存在一些差异：第一，在交流类型上，中国在对自我交流和与他人交流都较 为重视的前提下，更加关注自我反思及与内心的交流。美国 一贯注重与他人的交流能力，注重分享和合作；
第二，在能 力要求上，美国明确提出数学交流表达能力，在数学课程标 准中有清晰的“数学交流能力”的内涵及要求。但中国的数 学课程标准没有对数学交流表达能力的价值、含义做出明确 的界定和说明，数学交流表达能力并未受到足够的重视；
第 三，中国注重条理性，美国注重准确性。中国要求能有条理、 清晰地表达自己的想法，美国要求能精确地表达数学观点。
3.中美数学交流表达能力要求程度的比较 中美两国数学交流表达能力在表达自己想法、与他人合 作、分析他人思维等几个要素的要求程度有所区别：第一， 在交流数学思维方面，中国要求“学会独立思考”“学会与 他人合作”，美国要求“清楚连贯”“分析和评价他人的数 学思维”；
第二，在表达自己观点方面，中国要求“清晰” “有条理”，美国要求“精确”；
第三，在倾听他人方面， 中国要求“能较好地理解他人的思考方法和结论”“针对他 人所提的问题进行反思”，美国要求“倾听他人的解释”“让 学生有机会发展自己的理解”。比较来看，中国在学生口头 及书面语言表述技能上的要求高于美国，美国在数学语言准 确性上的要求高于中国。
4.中美数学交流表达能力培养的案例评析 【案例l】（美国）设想你正在和班上一名同学通电话。你要求他画几个图形，而那名同学看不到图。请写下一组要 求，使他能够正确画出如图1所示的两个图形。
【案例2】（美国）设想你被雇佣为咨询员帮助。一家 企业就两种可能性作出选择，如用哪一家出租汽车公司比较 好，或采用哪一个通话套餐比较实惠。写一份备忘录说明哪 种选择比较理想以及为什么。
【案例3】（美国）设计一个狗屋。狗屋用的材料是从4 英尺宽、8英尺长的胶合板上切割下来，其容积要适当的大。
试解释你设计的依据。
【分析】美国教师培养学生的数学交流能力有多种方式。
教师可以在一节课开始或讲解新的题目时，先询问学生关于 这些内容的知识，然后教师把学生的回答汇总起来，第二天 印发给全班学生，让学生对每一条发表看法并说明理由。教 师可以根据学生存在问题的地方专门设计一堂课来处理那 些错误概念。通过这种方式，学生的知识成为教学的起点， 同时教师向学生传达了这样的信息，即他们必须对自己的想 法提供理由。这类活动有助于在课堂上形成一种尊重每个人 意见的氛围；
教师也可让学生上黑板、用投影仪展示自己的 做法，同时让全班发表意见而不只是教师来评判，对教室内 的交流有很大帮助；
教师还可以经常要求学生说出解题思路， 让全班讨论并比较各种解题方法的优劣。此外，教师就某个 内容让学生写下他们知道了什么，或让他们写一份帮助缺勤 同学了解什么是重点的学习指导，也都是培养学生交流能力的方式。这样做坚持一段时间，学生在口头交流和书面交流 时对自己的想法会有更清晰的认识。上述三个案例，学生在 具体情境中运用数学语言呈现思路、解决问题、阐述理由， 能够有效培养学生的数学交流能力。
【案例4】（中国）说出与日常生活密切相关的数及其 表达的事情。
【分析】学生日常生活中用数来表示的例子很多，如， 学号、班级人数、身高、物价、重量、距离等。教学中要引 导学生自己去发现，体会数的意义和作用。其间教师要注重 引导学生相互交流，从不同的角度认识数在生活中的应用， 促进学生思维碰撞，相互启发。
【案例5】（中国）分别选择三个不同的标准把全班同 学分为两类，用自己的方式记录调查结果。
【分析】教学中教师应鼓励学生依据分类标准得出结论， 并将自己的分类依据及所得结果呈现出来。教师还要引导学 生相互交流，理解他人的分类思路，进行初步的评价及反思。
具体可作如下设计：
(1)教师给出问题后，引导学生讨论不同的分类标准。
例如，性别、身高、家到学校的距离、出生年月、左右手写 字等等。
(2)当提出的标准较多时，可以分组进行活动，完成调 查。
(3)运用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现调查结果。
(4)全班讨论不同的分类标准及调查结果，针对同学提 出的问题进行反思。
【案例6】（中国）结合实例解释3a。
【分析】学生通过运用实例解释3a，理解用字母表示的 代数式是有一般意义的。a可以表示数量，例如葡萄的价格 是每千克3元，则3a表示买a千克的金额；
a可以表示长度， 例如一个等边三角形边长为a，则3a表示这个三角形的周长 等等。
【案例7】（中国）看图说故事。设计两个不同问题情 境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合 图像，讲出这对变量变化过程的实际意义。
【分析】通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满 足特定关系的函数实例，以加深对函数理解。学生可以设计 多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可 以说出下面的故事：小王以常速度400米／分，跑了5分钟， 在原地休息了6分钟，然后以常速度500米／分，跑回出发地。
再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4 升／秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，以常 速度0.5升／秒倒空瓶中水。老师可以鼓励学生，创设不同 的符合函数关系和实际情况的情境，旨在促进学生理解函数 是表达具体情境的一种方式。
三、中美数学交流表达能力差异的原因分析1．中国文化具有内倾精神，美国文化具有外倾精神 中美两国的数学交流表达能力都是数学能力目标的组 成部分，但该能力意义、价值、内涵及侧重点均存在差异。
中国长久以来注重自我交流，近年来逐渐开始注重他人交流， 美国则更关注学生与他人的交流合作。这可能与中美两国文 化的差异有关，中国文化具有内倾精神，倡导人的修身自省。
美国文化具有外倾精神，注重人的自由品性。中国有五千年 的文化积淀，以儒家文化为主导的中国传统文化体系庞大， 经历了春秋时期的百家争鸣，到汉代的“罢黜百家、独尊儒 术”，再到朱熹的宋明理学，较为单一的文化传承具有很强 的稳定性和生命力。美国的历史有两百多年，是新兴的移民 国家，美国文化由不同种族、不同民族的文化构成，是外来 文化与移民文化的熔炉，文化的传承性较小、交融性更强， 具有多元化和开放性的特点。中国文化的稳定性强，文化构 成相对单一，外来文化的影响相对较小，他人交流在中国文 化传承中的作用远不及美国；
而美国在短时间内发展为政治、 经济强大的国家，其文化的交融性很强，在国家急速发展的 进程需要吸收来自不同文化的精髓，其中交流和合作起到了 至关重要的作用。按照这样的思路分析，就不难理解为何美 国多年以来注重学生与他人的交流和合作能力，而中国的重 视程度相对较弱，并且美国对交流和表达能力的认识要比中 国深刻而明确。近年来中国对他人交流、合作学习等目标和 内容逐渐开始重视，也是吸收了西方及美国的思想和经验。2．中国提倡尊师重教，美国注重师生平等 中国传统文化价值取向提倡“忠孝”，中国学生从小受 到自制、谦恭、责任、义务的教育，要求对父母知恩图报和 对师长谦逊尊敬，使年轻人崇尚权威，严格遵守等级、循规 蹈矩、恪守本分。美国传统文化哲学和价值观来源于近代经 验主义哲学和新教传统。经验主义代表洛克认为：人本来处 于完全自由的状态，所有的人都是平等独立的。美国的民主 是建立在个人权利基础上的集体责任感，强调个体与他人的 民主平等关系。从中美的传统文化看数学交流表达能力目标， 可以大致分析出两者差异的原因：在中国传统文化中，教师 与“天、地、君、亲”并称，实际上被类同于君臣关系和亲 子关系。教师被视为知识的权威和道德的权威，即“师之所 存，道之所存”，培养出的人才是“继承型”多而“创造型” 少。中国传统重视礼教，强调等级隶属关系，使得人们常常 约束自己的行为，放弃自我心中的愿望，表现出自我克制、 自我顺从的人格特征；
而美国则有另一种倾向，杜威的实用 主义哲学赞同“儿童中心”思想，尊重儿童的个体经验，提 倡教育过程是儿童与教师共同参与、双方合作的过程，教师 主要扮演设疑者、启发者、引导者和协助者的角色，注重培 养学生的自主意识、创造力和思维的批判性。由此不难理解， 美国以数学交流表达能力为载体提出的师生之间互动交流 目标至少40年，而且要求教师要创设宽松的、自由的、有利 于学生诚实地、开放地表达自己想法的氛围。3．中国倡导中庸平衡，美国倾向两级分立 中国文化主张和谐、中庸、对称和平衡，“中庸之道” 是中国人的基本准则，也是人际关系的一个重要原则。中国 传统文化中所固有的“阴阳之道”的辩证思想，使得中国数 学教育倾向于在各个对立面之间建立适当的平衡。美国文化 不太接受中间调和，是则是，非则非，倾向于不同事物、矛 盾双方分别对抗，两极分离，往往执其一端，不计其余。梁 启超曾说过：“西洋人极不易妥协，万事皆确执，而感情常 走极端。故一民族以小小言语之同异，决不肯舍己以求人。
芊芥之不自由，宁牺牲一切以争之，宗教上之信仰，更丝毫 不肯迁就，有反于其良心者，则尽其力之所及以排挤之”。
“中庸”“平衡”的辩证思想影响到中国的数学教育，在数 学交流表达能力目标的设置上，特别注意平衡自我交流与他 人交流的关系。自我交流是学生的自我沉思和反省，他人交 流是学生与教师和同学的交流。有研究表明(Wong，2004)指 出，中国学生的第一类交流，即自我交流更多，而第二类交 流，即他人交流较少。自2001年起，中国的数学交流目标已 经做出调整，既包括自我思考与反省，也包括他人合作、交 流思维、讨论质疑，以期在自我交流和他人交流之间建立适 当的平衡。
4．中国思维以曲线式为主，美国思维以直线式为主 四、思考与建议 1．深化对数学交流表达能力价值的认识交流和表达是数学和数学教育中的关键部分，是分享观 点和澄清理解的一种方式。通过交流可以反思、精炼、讨论 和修正数学观点。交流也有助于理解观点的意义，使之记忆 深刻并公开化。学生在进行数学思维和推理，并用口头或书 面的方式与他人交流结果时，他们正在学习如何使其思维和 推理更清晰，更令人信服。倾听别人的解释，让学生有机会 发展自己的理解。从多种角度探讨数学思想的交流，有助于 参与者改进他们的思路并作出有机的联系。参与为自己的解 答过程辩论的讨论，特别在答案不一致的情况下，学生说服 不同观点的同伴的同时，也加深了自己对数学的理解。这样 的讨论也有助于学生发展表达数学思维的语言，并知道使用 精确语言的必要性。教师要为学生提供机会，鼓励并帮助他 们在数学课堂上说、写、读、听，用交流学习数学，学会数 学交流。
2．师生交流由教师的提问引导 师生互动的数学交流，教师的作用至关重要，交流的开 始通常需要由教师提问加以引导。要提一些开放性的问题， 避免提仅用“是”或“否”即可回答的问题，也避免提仅依 靠记忆即可回答的问题或答案显而易见的问题。提问之前不 要特别点明某一位学生，也不要让全体学生集体回答，不要 给学生问题难度的暗示。提问之后，教师要给学生思考的空 间。在学生给出答案之后，教师要追问“为什么”，或由学 生讨论答案的正确性。3．教师和学生要扮演好自己的角色 在数学交流表达能力培养过程中，教师的角色是提出能 激发和促进学生数学思维的问题和教学任务，仔细倾听学生 的想法，要求学生口头或书面方式阐明和证实自己的想法， 判断在学生讨论中产生的哪些想法应该进一步深入跟踪，确 定将学生的想法与数学概念和数学语言进行整合的时机和 方式，决定提供信息、提出问题、将问题模型化、让学生自 己与困难抗争的时机，监督学生讨论，在恰当的时候用恰当 的方式鼓励每一位学生参与到语言互动中来。在数学交流表 达能力培养过程中，学生的角色应为聆听并回答问题，用不 同的工具推理、联结、解决和交流问题，引发问题和提问， 产生猜想并用正例和反例探索猜想，给出回答，尝试用表征、 解答、猜想等说服他人，依靠数学证据和观点确定答案的有 效。