慢概念行为
慢概念行为 [摘 要] “慢”教育与“快”教育相对而生，慢教育的 本质是用“过程”来刻画的。叩问其“有效性”是历史的必 然、现实的需要、长远的关键。实践证明，慢教育能在过程 中改善学生的“数学现实”、助推学生的“数学理解”，能 在过程中促进教师的“专业发展”。“你在桥上看风景，楼上看风景的人在看你。” —— 卞之琳 “慢教育”在“快教育”被置于“顶层”的哲学时代“破 土而出”，叩问其“有效性”是历史的必然、现实的需要、 长远的关键。慢教育的表征是用“慢”来概括的，但其本质 却是用“过程”来刻画的，“过程”意味着经历、体验和发 展，在过程中改善“数学现实”、在过程中助推“数学理解”、 在过程中促进“专业发展”。而这些过程的结果正是慢教育 “为什么而出发”的理由。文前、文后镶嵌的诗句，旨在对 慢教育“过程有效”的折射和隐喻。
一、慢的教育可以有效地改善学生的“数学现实” 20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔曾经提出过“数学现实”，即每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客 观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方 法、规律和有关的数学知识结构。《义务教育数学课程标准 （2011年版）》也指出，随着数学学习的深入，学生积累的 数学知识和方法就成为学生的“数学现实”。而慢教育就是 以改善“数学现实”为出发点的过程性教育，因此这就在理 论层面反映慢教育的有效性。
改善“数学现实”的过程，就是让每一位学生经历数学 知识的产生和发展过程以及认识结果的价值意义，揭示相关 知识之间的内在关联，从整体上理解数学，构建数学认知结 构。采用现代企业管理元素来分析，就是用规划的结构序列 之力促进活动（事件）的深层次展开。
（一）慢的教育有助于内容组织结构化，帮助学生感受 知识体系 慢教育注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课 教学的知识置于整体知识的体系中。教师在组织教学内容时， 通过左右勾连式的内容把握，充分考虑学习内容与目标之间 的联系，合理规划，给学生广阔的自主求探时空，让学生在 梯级递进式学习中渐次感受外在的学习过程，感知内在知识 的整体性。以“分式”概念教学“开端”为例，上课伊始，笔者首 先出示学习目标：了解分式的概念，能确定分式有意义的条 件；
在探索分式概念和分式有意义条件的过程中，发展类比 思想和模型意识。让学生清楚这节课我的“数学现实”与“课 时目标”的距离，从而激发内在的平衡需求。然后给充足的 时间“悦读”课本，让学生自己提炼本节课待学的主干内容， 这样，就能让学生明白本节课内容之间的逻辑关联（概念+ 实际意义+有意义的条件）。添加这一“组块式”活动，一 方面锻炼了学生的整体概括力；
另一方面激发了后续学习的 内需状态，引动概念结构体系的关联。这基于“结构化”的 组织过程，有利于个体认知结构渐次良好，很好地落实了改 善数学现实的初衷。
（二）慢的教育有助于过程推进结构化，帮助学生积累 活动经验 以核心内容为课堂推进主体是慢教育数学课堂呈现的 显著特征。学与教的慢教育过程需要让学生经历并不断思考， 以促成其核心能力的阶段发展。尤其是要关注过程推进的层 次，即由平行匀速走向逐层递进的动态匀速。
以“分式”教学的过程性重建为例，逻辑流程是关键，问题是核心。分式概念的建立抓住三点展开：（1）分式是 什么？呈现一组含有分数、整式和分式的代数式，让学生类 比分数的特征积累分式概念的形式化活动经验；
比照整式建 构分式的意义。（师：在这些式子中，圈出你熟悉的代数式， 说明其归属类型，并提炼不熟悉代数式的共同特征；
你能再 写出一些具有类似特征的式子吗？）（2）分式有意义的条 件是什么？借助“去杂”思想，从研究分式无意义入手确定 分式有意义的条件（分式的分母不为零）；
（3）分式的几 何背景和实际意义的解释，从直观的生活体验入手，让学生 明白分式的来龙去脉。（师：请写出一个简单的分式并让你 的同伴解释其实际意义或揭示其几何背景。）在上述三个核 心问题的推进中，让学生经历丰富的思考与实践过程，在慢 节奏中，积累活动经验，改善数学现实。
（三）慢的教育有助于思维回流结构化，帮助学生领悟 思想方法 慢教育最显著的特征就是借助简捷的“问题链”进行元 认知（反思）。梅克（J.Maker）、斯克维（Schiever）在 剖析问题的分类中，提出“问题连续体”的概念，即一种开 放的、连续的、序列的问题体系。而“结课”是问题链上最 为重要的一环，从结构的视角审视其运行价值，让每一位学 生在慢节奏中进行思维回流，隐藏在具体知识背后的思想方法，就能通过个体（群体）“做”中反思、“用”中回顾， 实现由隐到明、由内而外，渐次得以领悟并升华为一种“通 体相关”的行事能力。
例如“分式”教学中的结课，教师的视角不局限于知识 简单堆砌（通过这节课学习，你有哪些收获？）而是关注“形 而上”的能力，让学生陈述本节课研究分式的方法（类比）， 并追问以前用这种方法研究了哪些内容？（类比一元一次方 程学习一元一次不等式和二元一次方程组、类比一次函数学 习反比例函数）类比分数的学习，我们还应该研究分式哪些 方面的内容？（分式的约分和通分，分式的加减和乘除运算） 这些基于“结构”的螺旋上升式的追问和叩问，让学生在思 想方法的平台上进行思维追溯，使新旧知识得以链接，思想 方法得以迁移，知识体系上下贯通，立体目标群自然层次性 达成。在此基础上，学习者的认识结构明显向好，数学现实 得以层次性改善，这就是慢教育在认知层面做出的最大贡献。
慢教育课堂追求不止于数学现实的改善，研究其对数学 理解的帮助更有意义。
二、慢的教育可以有效地助推学生的“数学理解” 我不知道生命的花能开多久，但我从不放弃等候；
我不知道游荡的魂能飘多远，但我从不停止追求；
因为，既然选 择了远方，便只顾风雨兼程。“等候、追求、风雨兼程”这 些饱含期待的文字丛林，浓缩了慢教育过程的“揪心”！就 诗意的侧面看，则是对慢教育背景下“数学理解”过程化的 一种理解反映和情绪信念。
波利亚说：“只有看到数学的产生，按照数学发展的 历史顺序或亲自从事数学发现时，才能最好地理解数学。” 这就从理论层面揭示了“数学理解”的本质，即亲历知识形 成的全过程，让学生重建数学家发现数学规律的过程。而数 学理解就是慢教育过程的具体化，慢教育为数学理解捐助了 等待的时空和人文情怀。
（一）慢的教育可以助推学生对数学概念的认识 “没有经验的概念是空洞的，没有概念的经验构不成知 识的。”（康德）这反映数学概念的抽象性，但抽象的概念 一般来源于现实生活的实践，是从现实中概括出来的。这就 要求教师在进行概念教学时，要从学生已有的知识背景和活 动经验出发，让学生在大量的丰富的情景中形成对概念的感 性认识，并让学生在“过程”中经历辨析选择、比较类化和 抽象概括，终归于概念的完形。而“过程”需要时空的承载， 只有慢教育才有能力给予自由言说和反思碰撞的平台，因此 慢教育能帮助学生清晰对概念的认识。比如，“函数概念”的学习，一般要采用四步走的策略， 方能基于意义层面感性认识概念。首先让学生指出丰富实例 中的变量以及反映变量之间关系的表达方式（图像法、表格 法、解析法）；
其次让学生说说这些基于生活的表达式的共 同属性（一个变量随着另一个变量的变化而变化）；
再次通 过抽象，归纳出共同本质属性的各种假设并在变式中剔除非 本质属性；
最后，让学生举例，将本质属性推广到同类事物， 概括形成函数的概念并用定义描述。在形成概念的过程中， 关键是切入慢教育视角，给每一位学生自由言说的契机，让 学生在体验中自然生成，在思考中内化理解，在反思中收获 概念。正如美国谚语所说，我听到的会忘记，看到的能记住， 唯有做过的才入骨入髓。
（二）慢的教育可以助推学生对数学本质的理解 数学本质是灰色的，对数学本质的理解是灰色的灰色， 唯有让直观捷足先登，方能迎来“柳暗花明”的理解。而直 观是一种“过程”，需要慢教育理念的支持，方能产生突如 其来的直觉，因此慢教育是数学本质理解的重要途径。亦如 杜威所言，如果学生不能筹划自己解决问题的方法，自己寻 找出路，他就学不到什么，即使他能背出一些正确答案，百 分之百正确，他还是学不到什么。这里的“筹划”“寻找”本身就融入慢教育的理念，意味着让学生在过程中筹划，在 过程中寻找，进而使得数学本质走向阶段性澄明。
例如，“三角形三边制约关系”的学习，借助“搭三角 形”直观活动，就能让灰色的“三角形的两边之和大于第三 边”的本质到达澄明之境。活动路径是：首先让学生在学具 箱中任意选择三根小木棒任意搭三角形，借助度量给出能与 不能的理由；
其次让学生选择最长的一根，任意截取三段并 搭三角形，再次验证是与否的理由；
最后归结能搭三角形的 本质论断（较短两边之和必须大于最长边）。设置这样的活 动，拉长了理解过程，放慢了课堂步伐，但直觉理解却是终 身难忘的，使得灰色的数学本质渐次敞亮，回应慢教育的有 效性。
（三）慢的教育可以揭示出数学知识关联的本质 笛卡尔指出，知识并不是来自一种线性的，从上演绎到 下的纯粹理性，真理既不是纯粹理性，也不是纯粹经验，而 是理性与经验的循环。我想这里的“理性”是知识关联的结 果，“经验”是感性认识升华为理性的阶段性认识的积淀。
基于“过程”的理性和经验的相遇与融合，必然成就人的目 标选择性联结能力。而联接能力是慢教育气质的外显，是慢 教育的本质追求，因此慢教育为数学关联本质的揭示提供了发展的机遇。
比如“分式概念”的“延伸思维”项教学，笔者屏蔽俗 套的题海训练，而是基于“知识关联”的视角，创设了层次 性问题，让学生在兴趣驱使下，完成概念的内化工作。设置 的两个问题是：（1）必做题：每人制作若干张卡片，在卡 片上写一个简单的整式或运算符号，如卡片上可以写：1，2， +，x，1-x，x2-1，-3，——.（游戏规则：将其中两张卡片 分别放在分子、分母上，它们组成的式子是分式吗？如果是 分式，它什么时候有意义？它的值能为0吗？如果能，何时 为0？）（2）选做题以“分式”为话题，写一篇数学短文。
可以是学习随笔，可以是教学建议，还可以是思想方法的研 究……有话则长，无话则短。或许两道题不如一份试卷有“取 现”的价值，但却让学生在“玩中”理解了核心知识和知识 核心（分式的概念和有意义的条件），在“慢中”整理了思 想、迁移了方法，揭示了知识方法关联的本质，这正是慢教 育课堂应有的张力。
慢教育系统主要包含学生、教师、教材元素，研究教师 的专业发展尤为必要。
三、慢的教育可以有效地促进教师的“专业发展”专业发展是一个重要的时代命题，成为学校发展、教育 改革的热词。这里的“专业”不仅仅指学科专业，还包括条 件性知识（教育理论）、文化性知识；
这里的“专业发展” 是指教师专业素养的全面提升。而专业素养的抬升不能一蹴 而就，需要慢教育心态，方能在动态的吸纳中成就专业品质。
因为慢教育是一种能力，能让你站在教材的整体上俯瞰教 材；
慢教育是一种水平，能让你站在教育思想层面研究学 生；
慢教育是一种惯习，能让你站在教法的完备层面研究教 学。当你在阅读大师和读懂学生的过程中，每一次若有所悟 就是专业素养攀升的轨迹，因此慢教育有能力成就你的专业 成长。
亚里士多德曾提出过“第一哲学”的概念，他认为，在 许多具体哲学以外还有一个更重要的哲学，这一重要哲学为 其他具体哲学提供基本概念和基本规律，因而它是前提，应 当具有在先性。他把这一哲学称为“第一哲学”。而教师专 业发展的“第一专业”应该是“研究儿童”（成尚荣）。研 究儿童是慢教育的核心价值，而研究儿童又是以研究教材的 整体性、教学的思想性和教法的完备性为载体的，所以，慢 教育能有效促进教师的专业发展。
（一）慢的教育迫使教师研究教材的整体性研究教材的整体性，就是站在教材顶端回流章节之间的 逻辑顺序以及对学生施加的教育影响。而这些反思的反思， 需要慢教育心态，方能站在三年、六年甚至更长远的平台上 俯视教材系统，揣摩编者的编写意图。这是任何急功近利的 “短视”教育无法达到的教研境界，只有慢教育才有能力去 做拉长过程、放眼未来的长程教育。
比如，转化思想是一种重要的思想方法，依附在具体知 识的背后，在研究教材整体性的平台上，就能获悉章节阶段 性线索。在小学就孕育了转化思想的萌芽，在此基础上，以 “有理数”“整式的加减”等内容为载体，通过不断地渗透 和滴灌，让学生不断地感受和领悟这一思想。在学有理数时， 要让学生了解有理数运算实际上是借助引入绝对值的概念， 将它转化为算术运算；
借助相反数和倒数概念的引入，将有 理数的减法和除法转化为加法和乘法运算；
在整式加减时， 让学生认识到其实质就是通过同类项的概念转化为有理数 的加减，即化式的运算为数的运算。事实上，多元方程和高 次方程最终要转化为一元一次方程来解决。可见，转化思想 穿插在初中教材的背后，在高中教材中内层继续行走。经历 这样的慢教育反思和审视，教师驾驭教材就有了线性高度， 对学生施加的学科影响就不再是知识而是行事观，既引领学 生的生态行走，也成就了教师的专业能力。
（二）慢的教育驱使教师研究教学的思想性 教学思想是个体在教学过程中彰显的个性风格。有的教师直奔主题、有的教师立足于烧中段、有的教师关注两头、 有的教师以考代讲等等，当这些教学行为上升到理论高度， 便是教学风格的雏形。每一位教师都有独特的教学风格，只 是有些人没有提炼而已，抑或尚未成熟。我的教学主张就是 数学慢教育，慢教育来源于教学实践。实践证明，“慢”教 育比“快”教育更有效，慢教育是尊重学生“数学现实”的 具体表现，实现“人”的上位发展。
慢教育的教学思想是“自由做学”、教学境界是“学有 所乐”。“自由做学”意味着下放时空、压缩容量、浓缩知 识精华，需要教师简约教学、删繁就简的能力；
而“学有所 乐”意味着内在兴趣的驱动。因此每节课都要精心选材、精 当安排，方能让质量饱和弥补容量不足的思考缺位。比如， “平行四边形”性质教学，仅在“最近发展区”内设置两个 问题，就让平行四边形的性质通体透明。问题再现：（1） 请你在展板上用小木棒拼出平行四边形，并度量其边、角、 对角线，你有什么发现？（2）请从平行四边形的定义出发 证明你的发现。这样的容量在“快餐课堂”是不能容忍的， 但在慢教育课堂却意味着效益，学生拼得开心、量得快乐、 证得兴趣，这种“大思维、小动笔”正是慢课堂的魂。教师 站住这样的课堂，研究久了，专业素养由内而外自然提升。
慢教育成就了儿童自然生长，也成就了教师的专业发展。
（三）慢的教育促使教师研究教法的完备性 “教无定法，学无定式”是一种文化美。研究教法是个常研常新的课题，但追求教法的完备性却是个亘古不变的主 题。慢教育最大的优势就是在研究教法中收获“低耗”“高 效”。这是慢教育背景下孩子们能舒展笑容、开心求探的原 因，也是慢教育渐次成为热词的本质归因。慢教育课堂拒绝 题海、拒绝标签、拒绝说教，而要“以一当十”“举一反三”， “会一题、通一类、连一片”需要完备的教法来保驾护航， 方能赢得事半功倍的效益。
教学需要从心灵出发去分析，关注主观、内在的情感及 心灵的力量。这是帕克·帕尔默对教学法的深刻理解，也是 慢教育对完备教学法的本真追求。来自心灵的力量是巨大的， 慢教育就是在情感感召下释放教学法的力量。这里完备的教 法是一种研究过程，而非结果，意味着活动让学生伸手可 够；
问题让学生踮脚可触；
思维让学生“跳一跳，够到桃”。
这些发展性的系统元素，使得教师在不断的研究中获得专业 发展的契机。比如，上述分式游戏活动的设置，“拼分式” 是每一位学生都能够得着的数学活动，其间包含设计学生的 成就感体验；
而“判断分式”活动是检阅学生概念意义理解 的密码；
“判断分式有意义”命题是分析思维水平的校验码。
这样一组活动呈现看似无为，却融通设计者教法的完备意识， 起到左右连一片，上下穿一线的“形散神聚”的效应。
明 月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦（卞之琳）。这是慢 教育为教师专业发展做出的精神层面的贡献. [参 考 文 献][1]杨孝如.“更好的教育”：基础教育发展的时代命题 ——专访江苏省委组织部副部长、中国教育学会副会长胡金 波[J].江苏教育研究，2015（9A）. [2]朱桂凤.从容行走于“慢”与“不慢”之间[J].中学 数学（下半月），2014（8）. [3]格劳斯.数学教与学研究手册[M].陈昌平，译.上 海：上海教育出版社，1999. [4]李士锜.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版 社，2001. [5]张奠宙，唐瑞芬.数学教育国际透视[M].杭州：浙江 教育出版社，1995.