五国小学数学课程内容的比较及启示基于现行中美澳英日小学数学课程标准
五国小学数学课程内容的比较及启示基于现行中美澳英日 小学数学课程标准 课程内容是根据课程目标有目的选择的间接经验和直 接经验的总和。它是实现课程目标的手段，也是学生成长的 重要资源。课程内容不仅要反映社会需要，还要符合学科特 点和学生的认知规律，对此不同国家都作了精心选择和组织。小学数学课程内容的国际比较，可以为我们深入研究、确定 不同学习阶段学生必须掌握的核心内容，形成更新课程内容 的机制，建立科学的组织内容方式，提供借鉴与研究视角。
这里选取美国、澳大利亚、英国、日本和中国现行小学 数学课程标准作为研究对象，这些国家分别来自美洲、大洋 洲、欧洲和亚洲，教育和经济比较发达，有一定代表性。上 述五国除美国小学采用五年制外其它四国小学都实行六年 制，目前正在实施的课程标准，分别是中国的《义务教育数 学课程标准（2011年版）》、美国2010年公布的《州共同核 心数学标准》、澳大利亚2011年公布的《澳大利亚课程一一 数学》、英国1999年修订的全国统一数学课程标准、日本2008 年公布2011年实施的《中小学数学学习指导要领》。它们在 内容结构的划分上不尽相同，为了便于比较，我们按照中国 课程内容的四个领域的划分对其它国家的课程内容作了相 应的整合。
一、数与代数课程内容比较 “数与代数”是小学数学的传统内容，占有相当大的比重，是整个小学数学知识体系的基石。“数与代数”的思想 与方法对于学生理解数学的意义，进而发展问题解决的能力 以及形成正确、完整的数学观具有十分重要的作用。
美国“州共同核心数学标准”指出，数学课程的学习目 的为了将来升学、就业、成功，针对这一目的提出了对应发 展学生数学实践能力的8项指标。美国标准中代数思维的运 用比较早，在一年级就使用物体、图画、含有未知数的等式 来表征问题。二年级通过操作数量相等的几组物体来获得乘 法的基础，数的运算范围达到1，000以内，注重算法多样， 以及运用画图等解释运算的意义。三年级开始学习分数，在 数轴上表示分数，并能比较分数的大小。四年级开始学习小 数，把小数看作十进分数的一种形式，这样的安排与我国基 本一致。整数加减运算的范围不超过四位数，乘除法的要求 与我国类似。小学五年级学习到分数的乘法、单位分数除法， 分数除以分数不作要求，完整的分数除法（包括负数）延伸 到6年级（属于初中阶段）有理数系的学习，方程的学习也 在6年级。这说明美国小学数学的程度要略低于我国。
澳大利亚课程标准在小学阶段将“数与代数”分成了四 个方面（见表1）。其中“数与位值”有四条主线：计数序 列、加减乘除运算、心算笔算策略、整数的因子与倍数；
“分 数与小数”则围绕分数和小数的大小、排序和运算贯穿整个 小学阶段；
“货币与金融数学”主要针对澳大利亚钱币的价 值及其大小、应周进行了内容表述；
“模式与代数”是数与代数的结合，以数字模式为主线开展整数模式、分数模式和 小数模式的学习和创建，其中理解模式、用模式表征和理解 数量关系是此部分的关键。澳大利亚强调识别数轴上点所代 表的数，能准确地在数轴上定位相应的数。除一年级外，在 各年级都提出了心算和心算策略的要求，到了六年级还要求 能解释运算中的心算策略。允许计算器用于检查解答的正确 性和答案的合理性。“货币与金融数学”贯穿小学数学各个 年级，包括制订简单的金融计划，识别发票和收据的商品服 务税组成部分等。课程标准中还加入了利用原土著居民的串 珠进行计数、土著居民和托雷斯海峡居民的计算方法。可见， 澳大利亚课程对本土传统文化的重视和提倡。
中英两国数学课程标准中数与代数的内容名称有些不 同，但涵盖范围基本相同。“数与数系”、“计算”两部分 对应于我国的数与运算，“解决数值问题”主要是解决一些 常见量的问题，包括金钱、质量、时间等，以及选择使用恰 当的计算方式、数量关系等问题。英国数学课标前两个学段 中还未涉及式与方程，比例方面的知识被归属到数与数系部 分，并没有单独列出。数的运算方面，英国对小学生数学计 算能力的要求明显低于我国。由此可见，英国数学课标中数 与代数部分的要求要低于中国的数学课标。不过，我们已经 看到英格兰政府在2013-2014年期间颁发的《英格兰关键1-4 阶段国家课程框架》中直接表明了课程设计的核心学术取向， 其改革抱负在数学课程上体现得尤为突出。譬如，尽早让学生背诵乘法表；
要求一年级孩子开始学习分数基本知识，这 比原先的课程提早了两年。【2】苏格兰在推进卓越课程改 革的过程中，将可持续发展教育的理念和实践充分渗透到基 础教育课程体系中，加强课程的广度和深度。卡梅伦首相也 多次发表言论支持新改革从难从严的决策，认为这对推动经 济繁荣来说是非常正确的。【3】 中日在认数的范围上基本相当，都包含整数、小数、分 数，以及近似数，但日本没有引进负数。日本更多重视笔算， 特别是对笔算方法的理解，我国在重视笔算的同时明显加强 了口算和估算，在课标（实验稿）中“估算”一词出现了27 次之多，课标（2011年版）也将估算作为发展学生数感和应 用意识、培养学生运算能力和推理能力的重要手段。日本从 第二学年开始学习整数的乘法，主要是表内乘法，第三学年 是一位数和两位数乘三位数和四位数，并涉及一位数的除法， 第四学年主要讲授除数是一位数或两位数，被除数为两位数 或三位数的整数除法。日本的整数乘除法主要集中在第二、 三、四三个学年，中日关于整数乘除法的范围、编排体系基 本相同。另外，日本重视珠算学习，在第三学年安排了用算 盘进行简单的加减法运算。我国本次课改已将这一部分内容 删除，由于算盘是中国传统文化的内容之一，利用算盘还可 以直观形象地表示数和数位，当前仅仅保留丁“知道用算盘 可以表示多位数【4】这样的要求。
二、图形与几何课程内容比较数学的发展依赖于数和形两方面的进步，“图形与几 何”领域是研究空间形式的基本内容。它以视觉思维为主导， 有利于培养人的观察力、空间想象力、空间洞察力。
美国标准中的“度量”相当于我国过去的“量与计量”， 包含时间、货币、质量和几何度量。除我国学习的计量单位 外，还介绍了磅、盎司、英尺、英寸等常用计量单位。美国 注意将面积、体积与乘法、加法运算相联系，解决有关面积、 体积的实际问题和数学问题；
在数学推理中使用面积模型来 表达分配律。美国较多地运用图形来表征问题，这与我国注 重计算的传统有所不同。美国注意动手操作和实践活动，认 识图形时，在还没有知道某些几何形体名称时，就利用给定 的二维、三维图形让学生来构造复合图形；
注意将图形的等 分与分数的早期认识相结合，如“二等分”、“三等分”用 “1/2”“1/3”来描述。认识的图形除我国介绍的还有菱形， 用垂直的数线（数轴）定义平面直角坐标系，将实际问题和 数学问题用坐标平面第一象限的点来表示，但没有平移、旋 转，以及线路图和方位等内容。
澳大利亚“测量与几何”与中国“图形与几何”的内容 基本相同，“图形”相当于中国的“图形的认识”，“几何 推理”包含在中国课程标准的“测量”当中，并且在整个小 学阶段都围绕“角”展开。从比较简单角的大小出发，到通 过与直角比较大小认识锐角和钝角，再到量角器绘制角，最 后到角的测量等内容，让学生初步体会推理在几何中的运用。此外，澳大利亚“测量单位使用”同样也包含在中国“测量” 的内容中。两国在该领域都涉及到变换几何，但两国在直观 几何、度量几何和变换几何的内容难度设置上有一定的区别， 尤为变换几何。主要有：①旋转的处理不同，澳大利亚在二 年级提出识别并描述物体180度的旋转及直角旋转，而中国 在第一学段提出通过实例感受旋转的现象，第二学段才提出 将简单图形进行90度旋转；
②平移的处理不同，中国在第一 学段提出结合实例感受平移现象，辨认简单图形平移后的图 形，而澳大利亚提出研究物体滑动和跳跃的效果。物体的滑 动和跳跃实际上可以理解成一种平移，中国提出的“平移” 体现的是数学性，“滑动”和“跳跃”更多体现的是生活性；
③相对位置的处理不同，中国在第一学段主要让学生描述相 对位置，而澳大利亚则让学生创建网格地图，并使用路标和 方向性词语描述路线；
④确定位置的处理不同，澳大利亚在 六年级提出使用四个象限，介绍笛卡尔坐标系，而中国在第 二学段提出在方格纸上用数对表示位置，为学习直角坐标系 打下基础。由此而言，澳大利亚所提出的几何内容比我国多， 要求也比我国的高。
中英两国都涉及图形的认识、位置和运动、测量三大部 分内容，都很重视学生几何操作、推理、实践等基础能力的 培养。小学阶段的几何学习大多集中在对简单二维和三维图 形特征的认识，在观察、认识图形的过程中发展学生的空间 想象能力，能够在头脑中初步建立图形模式。但两国学段要求存在差异，内容要求侧重点不同：英国数学课标要求能够 逐渐精确地创造二维和三维图形或模型。而中国数学课标只 在第一学段要求会用长方形、正方形、三角形、平行四边形 或圆拼图。中国数学课标第一学段中已经要求学生认识直角、 锐角和钝角，英国数学课标到第二学段才要求学生认识锐角 和钝角；
长度单位的认识，长方形、正方形的周长和面积公 式，英国也出现得晚一些。整体来看，我国对于小学几何知 识的要求要高于英国。
日本《要领》中“量与测量”和“图形”两部分对应中 国标准中“图形与几何”，具体从“量、测量、图形的认识、 图形的理解、图形与位置”五个方面进行了编排。日本《要 领》中还包括菱形的认识和面积计算，棱柱的认识和体积计 算，有“对称”但没有“平移”、“旋转”，没有扇形、面 积和体积的估计、图案的设计与欣赏、比例尺、线路图、用 数对表示位置等。两国都希望学生能够获得图形与几何方面 基本的知识、技能与经验，为解决实际问题做准备。虽两国 内容结构安排相似，但各个部分知识的容量有所不同，我国 从图形的认识和性质、图形的运动、图形的位置等多个视角 刻画图形，从只关注学生对图形基本知识的结果掌握，到关 注学生对图形知识的体验过程，不仅发展了学生的空间观念， 而且增强了学生的逻辑推理能力。总体看，图形与几何部分 的知识我国要多于日本。
三、统计与概率、综合与实践课程内容比较“统计与概率”主要研究客观世界中的数据和随机现象， 它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能 性的刻画，来帮助人们作出合理的预测和推断。注重“综合 与实践”是当今世界数学课程改革的共同趋势，并且已经体 现在中小学课程内容之中。
美国小学阶段（1-5年级）只涉及“表示和解释数据”， 没有“概率”。美国标准主要是围绕数据表示、数据分析、 利用数据统计图表解决问题展开的，主要用有刻度的图或直 方图来表示分类数据，内容偏向于实际运用。我国“统计与 概率”内容包含“简单数据统计过程”和“随机现象发生的 可能性”两个部分，描述数据的方式有统计表和统计图，小 学阶段的要求高于美国。两国都重视统计观念的早期培养， 美国从幼儿园阶段，中国从小学一年级就要求学生学习有关 数据分类的基本内容，同时体现了对统计过程的重视。美国 “统计与概率”内容的学段安排整体上晚于中国，主要集中 在第三学段。【6】美国非常重视数学实践，提出了8条数学 实践标准，强调发展学生的数学能力，如问题解决、建立关 联、理解数学思想的多种表征，特别提出了数学建模的思想。
【6】美国的一些有代表性的教科书中，还设有“解决问题 策略”、“探索”、“数学活动”等栏目，要求学生在问题 情境中创造地运用所学知识和方法去探索问题的解决。【7】 澳大利亚课程标准以“随机性”和“数据表达与解释” 作为两条线索贯穿于两个学段。明确要求学生收集信息、完成数据的表示（如列表、画柱状图、画点阵图等），并构建、 解释这些数据提供的信息。能描述日常事件的结果，对事件 发生的可能性进行排序，认识到概率的取值在0-1之间，能 用分数、小数、百分数描述概率，能用预期的频率比较实验 中观察到的频率等。这已经是相对系统的概率学习。两国在 收集数据、表示数据、分析数据的内容上基本一致，但在“概 率”的学习要求上澳大利亚明显高于我国。澳大利亚没有把 “综合与实践”作为独立的学习领域，但强调数学应用的熟 练程度、问题解决的技能，如“统计与概率”领域设置了实 践性较强的活动性问题：昆虫多样性。让学生在操场上铺一 块1平方米的纸，通过记录一段时间内昆虫在纸上的种类和 数量来收集数据。这类看似科学课上的内容，澳大利亚却将 之与统计、概率的知识相联系。澳大利亚的有些教科书中还 专门设置了“趣味探究活动”，通过实物操作、调查研究、 实验及游戏等来运用所学知识。
英国课标中没有“概率”，也没有独立设置“综合与实 践”领域。但从具体课程内容来看，在第二学段包含“处理 数据”。两国都重视统计语言的培养，体现在要求学生掌握 统计知识和技能，能进行制表、画图等操作的同时，也能够 用正确的数学语言来解释、分析数据。由此，展现出数学学 习不只是要求会看、会做，也要会说。正如英国学者迪雅斯 (H. Dyasi)所指出的，“解释是智力活动与通过调查收集到 的离散的事实相结合的结果。解释是科学探究活动的根本组成部分”。【8】英国数学课标中重视理解一些统计学名词。
例如要求能够构造频率表、知道众数、认识离散数据和连续 数据，这些内容难度要高于我国。英国数学课标将实践内容 融入数学知识学习，虽没有单独列出“综合与实践”领域， 但常以重视培养学生的动手实践能力自居。他们十分重视数 学学科内相关能力的提高，在每一学段的每一部分课程内容 的具体阐述之前，都会设计“使用和应用”此部分课程内容 的要求，这一要求包括问题解决、表达、推理三方面。
日本《要领》没有设置“概率”内容，但比较重视学生 数据处理能力的提高，关注学生数据处理的过程。中日都希 望学生在经历数据收集、整理、分析与推理的这些统计活动 过程中，逐渐认识到统计的作用，能够从数据的角度思考和 处理与数据有关的问题，能通过收集、整理和分析，作出合 理的判断、反思。但日本《要领》该部分的难度要求相对于 中国而言则较低。比如，日本对数据的呈现，只要求用简单 的表格与图形进行表示；
对条形统计图的“画法”与“读法” 只要“了解”与“理解”。日本设置了“算数活动”，目的 是让学生通过明确的数学活动，获得数与计算、图形与数量 关系几个领域的知识和技能，并能运用所学的知识与技能进 行思考、说明及解决问题，使学生从数学活动中体会数学学 习的乐趣和充实感，从而增强他们学习数学的兴趣，加深对 数学学习意义和价值的理解，进而提高他们的思考力、判断 力和表现力。两国都关注数学活动中知识间的联系，关注教学形式与内容的多样化和丰富性，从而突显活动内容的综合 性。
四、启示 如今，教育的全球化趋势不断增强，数学教育课程改革 的过程，很大程度上就是不断进行数学教育国际比较的过程。
也就是不断运用数学教育国际比较的成果的过程。【9】共 同的全球化时空发·展背景使各国的课程与学业评价改革出 现了某种程度上的价值诉求上的趋同性，但趋同性并不能遮 蔽、消解不同国家解决各自问题的路径和手段的差异性，不 同国家的改革都有着自己的本土适切性问题。【10】比较不 同国家课程内容的设计，借鉴国外先进经验，观照我国小学 数学教育的传统与现实，可以给我们带来启示。
1．凸显算术知识在小学数学中的主干地位 我国历来重视小学算术教学，1978年以前的课程名称就 是“算术”。随着社会进步和数学科学发展，一些陈f日的 内容需要精简，一些基础的、重要的知识又必须纳入到课程 内容中。因此，从20世纪80年代起，课程内容改革提出了三 项措施：一是精选传统的算术内容；
二是适当增加代数、几 何的部分内容；
三是适当渗透一些现代数学思想。那时传统 的算术内容约占95%，仍是小学数学绝对的主体部分。美籍 华人学者马立平曾提出，中国2001年前的小学数学内容是 “核心学科型”结构，这个核心就是“小学算术”，而美国 的小学数学课程内容是“条目并列型”结构，没有一个自成一体的学科。这种“条日并列型”结构给美国的小学数学教 育带来了伤害，导致内容的不稳定、教学的不连贯、概念的 不统一。…美国在经历了新世纪的“数学战争”以及在亚洲 国家数学教育成功经验的影响下，由原先的只注重理解向着 既注重理解又强调基础知识的掌握和基本技能的获得的方 向转变，这一点在美国《成功的基础一一全美数学顾问小组 最终报告》、<幼儿园学龄前到八年级数学课程焦点：追求 一致性》等课程改革文献中得到了体现，提出了“数学理解 和程序技能同等重要”、“能够灵活、准确、熟练地运用相 关运算法则”等。【12】课程内容结构的改变影响是深远的。
中国数学课程标准中未提及“算术”一词，在课程内容的选 择上缺少严格、规范的选取标准，但从课程内容与现行的教 科书来看，系统的算术学科知识仍存在于其中，并处于小学 数学的主体地位，这一点应该得到坚持。
2．注重应用数学解决问题 比较发现，五国都重视数学与现实生活以及其它学科的 联系。美国提出的8条数学实践标准，日本设置的“算数活 动”，澳大利亚、英国虽没有单独列出“综合与实践”，但 已将“使用和应用”数学、数学实践融入到系统知识学习中。
从英、美、澳的中小学数学教材来看，均有专门的章节是知 识的应用，培养学生解决与生活实际相联系的数学问题。尤 其是美国的数学教材以探究为主线，其背景大多接近学生日 常生活或与历史文化息息相关。[13]可以说，重视数学的应用与实践是当前课程改革的一大趋势。学生自主学习、独立 思考、合作探究，增强问题意识，提高解决实际问题的机会 和能力，是创新人才素质的核心所在。让学生经历探索发现、 大胆质疑、调查研究、实验论证、运用工具、交流汇报，让 学生认识到数学有用，并进而想用、会用，这对于学生今后 的发展非常重要。我国课标（2011年版）中，把“综合与实 践”看作是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习 活动。不过，课程目标如何进一步具体化，具有更强的操作 性？课程目标如何更好地引领课程内容的开发与实施？如 何增强“综合与实践”内容的系统性和针对性？还有待进一 步探讨。
3．重视代数思维的早期渗透 代数是在算术的基础上发展起来的，代数思维重在关系 的符号化，以及对符号的运算。Li-iJ如小学数学中，用字 母表示数和数量关系、简易方程、式的相等和同解变形、变 量思想的运用等。它们是将数的知识提升到一般化、概括化 的水平。比较发现，一些发达国家都比较重视代数思想的早 期渗透。美国《成功的基础一一全美数学顾问小组最终报告》 特别提出聚焦“代数基础”、提前渗透代数概念和思想。【15】 其标准提出在一年级就使用物体、图画、含有未知数的等式 来表征问题。澳大利亚的标准中，卜6年级都设有“模式与 代数”栏目。2001年12月，国际数学教育委员会第12届会议 ( ICMI-12)还专门成立了早期代数工作组，将代数的起步教学作为专门的研究领域。学生的数学学习是从认数与计算开 始的，实践表明，代数早期可以从整数的认识与运算开始。
如用括号表示未知数：在学习“10以内加减法”时，安排“填 未知数”：()一5=4；
4+()<7等。还可以用简单的文字符号 表示未知数，进行文字符号推理：如，7+口一11，口一？；
△- O+O+O，O=口十口，△=()个口，来促进儿童对相等关系 的理解。在用字母表示数量关系、计算公式的教学中，让学 生感受到用字母表示的简洁性和一般性。在用文字、符号建 立相等关系时，让学生感受到“己知的”和“未知的”可以 同等看待，这样表达数量关系时更加自然，思维更加流畅。
4．恰当把握数学课程内容的广度和深度 不同国家在课程内容的选择与组织存在一定差异，我国 小学数学课程的四大领域在继承传统、精典的算术学习内容 的同时，拓展了学习领域，有中学数学内容的“下放”，也 增加了一些生活类知识。如概率、图形变换以及方位等。概 率论在与统计学结合时，应作为统计分析的基础，小学数学 将统计与概率作为同一个学习领域，其实还难以将其有效结 合，存在“两张皮’现象。概率内容比较抽象，小学生学习 比较困难，我国2001年课标（实验稿）在两个学段都安排有 概率，课标（2011年版）将其后移，只在第二学段中出现， 并且只要求定性描述，要求有所降低。小学生是否要学习概 率？概率如何与统计恰当结合还有待进一步研究。
随着时代发展、科技进步、数学教育研究的深入，更新课程内容是必然趋势。正如信息技术的普遍使用，使得计算 机（器）进入了小学数学课堂；
由于统计思想方法的运用日 益广泛，“统计”成了小学数学的重要领域；
由于要处理大 量的、变化的信息，对口算、估算的要求有所提高。[16]如 今，我国小学数学课程内容也发生了一些变化，增加了几何 变换、图形与位置、概率、负数等内容，知识点有所增加， 知识领域有所拓展，上述国际数学教育比较显示，我国小学 数学课程内容领域较广，对于数学“双基”甚至“四基”提 出了明确的要求，总体程度在世界各国处于前列。
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