图形的奥妙
图形的奥妙 【摘 要】数学大体上围绕两个概念进行提炼、演变、 发展，进而展开，那就是“数”与“形”。而“数形结合思 想”就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几 何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解 形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，在概念教学、计 算教学、解决问题等课堂教学中灵活运用，可以使相对的复 杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高课堂教学的有效 性。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数 学的灵魂。“数”和“形”是数学的两个基本概念，而数学 大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开 的。“数形结合”是数学教学中一道亮丽的风景线，也是一 种智慧的数学方法。“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂 分家万事休。”我国著名的数学家华罗庚所写的这首小诗形 象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数 形结合”的本质。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应 用，本文就来谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。
一、概念教学：运用“数形结合”化抽象为形象 数学概念是数学知识结构中最基本的材料，只有掌握了 数学概念，才能更好地了解知识、学习知识、掌握知识。而 小学生对抽象的概念，基本上处于感性直观的认识阶段，如果能把抽象的数学概念与形象的图形结合起来，就可以把复 杂的问题简单化，抽象问题形象化，使学生易于理解和接受。
1．运用“数形结合”——促概念“形成” 形成概念就是学生从许多具体事例中以归纳的方式概 括出一类事例的本质属性。数学概念的形成不是靠老师“传 授”出来的，而是靠学生自己去“建构”的。这个建构的过 程是完整的思维加工过程，是一个从外部活动向内部活动转 化的“内化”过程。那么在教学时，我们怎样帮助学生落实 概念的形成呢？我认为最好的办法是“数形结合”，可以直 观地将比较抽象的概念转化为具体的、清晰的事物，使学生 容易理解和掌握，从而较好地帮助学生形成概念。
2．运用“数形结合”——使概念“内化” 学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例 突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解来内化概 念。在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练 习，通过实例突出概念的主要特征帮助他们加深对概念的理 解，来内化概念。
如在教学《百分数的认识》一课时，归纳了什么是百分 数之后，我设计如下环节：
联系生活，解读百分数（请读出下面百分数，并选两个 说一说这百分数表示什么？） （1）邵宅小学503班人数占全校人数的4.45％，全校男 生人数是女生人数的135.6％。通过第一个环节对百分数的初步感悟，学生试着用所学 的知识去正确解释生活动中的数据，在“联系生活，解读百 分数”这一环节中，不只停留在文字的层面说百分数，而是 增加了线段图与百格图，运用了“数形结合”的思想，在互 相交流和向大家介绍的过程中，学生感受、领悟到这些百分 数的正确含义，从而内化了百分数的意义。
3．运用“数形结合”——让概念“深化” 深化概念是加深理解和灵活运用概念的过程，即从一般 到个别的过程。平时学生难以深化概念往往是因为没有经历 “将丰富的感性材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、 由表及里”的改造过程，而数形结合能使比较抽象的概念转 化为清晰、具体的事物，从而让学生更好地发现事例的本质 属性或规律，能灵活运用概念，深化概念。
如，在《倒数》一课中，乘积是l的两个数互为倒数— —倒数的概念对于学生来说并不难理解，从教材的编排上看， “倒数的认识”是为后面学习分数除法而专门设置的。学生 对这个概念的理解仅仅停留在对语义理解的层面上，形象的 解释为分子分母互问颠倒的两个数互为倒数倒数的概念，除 了为后面学习分数除法做准备外，恰当的利用“数形结合” 的思想，使分数与数轴上的点之间有机的联系起来，使学生 的思维得到飞跃。
我设计了这样几个练习，使学生感悟“数形结合”思想。
通过找倒数并标在数轴上这一活动，由于已经看到了真分数与假分数分别在1的左右两边。学生很快得出了“真分数的 倒数都大于1，假分数(不等于1)的倒数小于1”的结论。有 些学生还发现了“分数越大倒数越小的规律(分数大于0)”。
数轴上找倒数，深化对“倒数”的认识。由于数轴实现了数 与形的联姻，将数与直线上的点建立了对应关系。揭示了数 与形的内在的联系，数轴使抽象的数有“形”可依。
二、计算教学：运用“数形结合”剖算理探规律 1．运用“数形结合”——促“算理”理解 在数学教学中，很多老师只重视计算方法的教学，忽视 算理教学。结果，部分学生虽然掌握计算方法，但因为算理 不清，知识迁移的范围就有限，不能灵活应用。学生不能理 解算法主要是因为没有实现“将抽象的算法具体化”和“从 具体中进行抽象”这样两个转化，数形结合能够帮助学生实 现算法具体化与抽象性两者之间的高度统一，帮助学生理解 算理。
2．运用“数形结合”——利“对错”辨析 在计算时，学生的计算很容易出错，如学生在计算1.3 × 1.2时提出了这样的方法：1×1+0.3×0.2，很多老师都 会让学生再算一遍，看看左右两边是不是一样，不一样，所 以错了。这样学生不知道为什么错了，下次还会出现这样的 错误。我在上这内容时就运用了数形结合的思想来帮助学生 澄清错误。
3．运用“数形结合”——引“规律”探索探索规律就是根据条件（有规律的数列、算式、图形等 信息）从简单情况或特殊情况入手，进行归纳（即从个性中 找出共性）、得出结论，再通过实例加以验证。学生不容易 探索规律主要是因为没有经历无序到有序的过程，没有多种 感官参与探索，没有充分的思考时间与空间，没有具备一些 相关的知识和能力，数形结合有利于培养学生的观察能力、 抽象能力、推理能力、发散思维能力和数学建模能力。
三、解决问题：运用“数形结合”明思路破难点 1．运用“数形结合”——理清“数量关系” 小学生主要是凭借事物的具体形象来进行直观思维活 动的，但小学许多解决问题所明确的数量关系通常需要通过 抽象思维来理解，这是在小学解决问题教学中存在的突出矛 盾，如把解决问题中抽象的数量关系用恰当的、形象的图形 表示出来，就可较好地解决这一矛盾。
如：一桶油，连桶共重15千克，吃了一半油后，连桶重 8千克。吃掉了多少千克油？原来满桶的油重多少千克？分 析：桶和油之间到底是一种什么样的数量关系；
吃了一半油 后，桶和油之间又是一种什么样的数量关系？学生对此类数 量关系大都感到十分抽象，不容易很快理解。如运用下面形 象的图形来表示它们之间的数量关系，同学们马上就一目了 然，明白了桶、油的关系，巧妙地解决了这个问题。
空桶 油 没吃前：
○ 十■＝ 15千克吃一半后：○ 十■＝ 8千克 可见，在解决问题的学习中充分渗透数形结合的思想， 把题中抽象的数量关系用恰当的图形直观的表示出来，十分 有助于学生分析问题、解决问题能力的提高，收到事半功倍 的效果。
2．运用“数形结合”——攻克“解题难点” 化解难点就是分解教学难点，做到化难为易、由浅入深、 直观形象。学生不能化解难点主要是因为不能实现将抽象的 内容具体化、形象化、直观化，数形结合能够化抽象为具体、 化复杂为简单、变生疏为熟悉、变深奥为浅显。
所以，数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，尤 其在小学数学中，使用数形结合的方法，能够使很多复杂的 数学问题迎刃而解，且解法简捷。
3．运用“数形结合”——拓展“解题思路” 小学生的数学学习，正处在以形象思维为主，向抽象思 维过渡的阶段。许多数学问题多以文字形式呈现，纯文字的 问题语言表述上比较简洁，枯燥乏味，致使他们常常读不懂 题意。根据其年龄特点，渗透“数形结合”思想，让学生自 己在纸上涂一涂、画一画，借助直观的图形把抽象的数学问 题具体化，还原问题的本来面目，使孩子读懂题意、理解题 意，拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关 键，从而提高学生解决问题的能力。
总之，数形结合的思想渗透在数学教学的每一个领域，教师只有在平时的教学中扎实落实“数形结合”的思想，学 生面对问题时就会站得更高、思路更广，对数学的理解会由 量的积累发展到质的飞跃，使我们的课堂更高效。
【参考文献】 [1]顾泠沅.《数学思想方法》[M].中央广播电视大学出 版社，2004 [2]斯苗儿.《小学数学教学案例专题研究》[M].浙江大 学出版社，2005 [3]蓝惠菊.《让思想方法贯穿小学数学学习全过程》[J]. 福建教育，2009（10） [4]张燕燕.《还数学教学以“精彩”——浅谈“鸡兔同 笼”问题中数学思想方法的渗透》[J].福建教育，2011（10）