发展分类思想落实核心素养助推专业成长以给三角形分类一课为例
发展分类思想落实核心素养助推专业成长以给三角形分类 一课为例 佳木斯市教育研究院何景龙 一、课前慎思 “给三角形分类”是人民教育出版社出版，2014年10月 第一版，2013年教育部审定，义务教育教科书数学四年级下 册，第五单元“三角形”的第63页～64页三角形分类中的例 5。以分类思想来指导和设计本节课，发展分类思想，提升 小学生的分类能力，有利于落实核心素养，助推小学数学教 师专业成长。1.教材分析。
“给三角形分类”教材中“我发现有两条边相等的三角 形”，这句话里的“有”字不能理解成“只有”，要理解成 “只要”。完整的理解是：“只要有两条边相等的三角形， 就是等腰三角形。”而不是：“只有两条边相等的三角形， 才是等腰三角形。” 按照角来分？按照边来分？表达都不够清楚，即分类标 准不清晰。按照角来分是从关注三角形的角的特征来进行分 类的一个统称，同样按照边来分是从关注三角形的边的特征 来进行分类的一个统称。严格来说，这并不是具体的分类标 准，应该具体到按照三角形的角的什么特征来分，按照三角 形的边的什么特征来分，这样才能够进行分类操作。比如按 照三角形的三个角中是否含有直角的具体分类标准来给三角形分类，可以将三角形分为直三角形和斜三角形两大类。
“给三角形分类”不仅要做到有条理，有层次，更应该 有逻辑。一定要注意不要犯逻辑错误，比如在按照边来分类 时，对于三条边互不相等的三角形，目前有如下的称谓：普 通三角形、特别三角形、特殊三角形、一般三角形、任意三 角形、不等边三角形、不等腰三角形等。有的教师说：“一 般三角形、普通三角形、任意三角形、不等边三角形是某某 书上说的。”还有的教师说：“是某某专家说的。”这些“唯 书是举”“唯人是举”着实令人担忧。谁说的不重要，重要 的是，这些称谓能否经得住推敲，符合分类原则吗？符合科 学原则吗？符合逻辑吗？有利于小学生的理解和学习吗？ 比如有的教师认为把三条边互不相等的三角形叫作“不等边 三角形”，而“不等边三角形”中的“不”否定的是“等边 三角形”，根据这样的理解，不等边三角形指的是等边三角 形以外的三角形，应该包括三条边互不相等的三角形和等腰 三角形，实际教学时它却不包括等腰三角形，在实际教学过 程中有的学生都对此有疑问，难道作为小学数学教师的我们 就不该有疑问吗？再比如“等腰三角形”以外的三角形，它 不是等腰三角形，我们一般不叫作“不等腰三角形”，省略 掉一个“是”字，达意不够清晰，在逻辑用语中的“非”字， 恰恰表示“不是”的意思，又与小学生后续的学习，“与、 或、非”统一起来了，所以应该叫作“非等腰三角形”更为 妥当。2.分类思想。
分类思想是根据解决问题的需要，把分类对象按照分类 标准，根据分类原则进行归类，再按照归类分而治之地研究 问题、解决问题的一种思想。分类思想不仅适用于数学学科 的教学，也广泛地适用于其他学科的教学，尤其是在小学数 学的教学实践中，更是渗透在各个领域里面、各个学段之中， 从小学一年级到小学六年级都有所渗透，是比较常用的、通 用的思想。
《数学课程标准（2011版）》明确地提出了“四基”， “四基”其中之一就是数学基本思想，数学基本思想就包括 分类思想。小学生从一年级就开始接触到了分类，一年级的 小学生通过参与分类活动，“按同一标准分类，按不同标准 分类”“按给定的标准分类计数，自己选定标准分类计数” 等，来体会同一标准下的一致性和不同标准下的多样性。分 类贯穿于整个小学6个年级、12册教材之中。
3.教材处理。
“给三角形分类”教学的侧重点在“分类”上，即分类 对象是“三角形”；
分类标准可以分为两大类：“一类是按 照角来分的分类标准，另一类是按照边来分的分类标准”；
分类原则是：“一个是分类子项互斥，另一个是所有子项的 和等于分类对象”，即小学生从一年级就开始知道的分类原 则：“一个是不重复，另一个是不遗漏。”通过给三角形分 类，来发展小学生的分类思想，提升小学生的分类能力，落实核心素养，通过给三角形分类来帮助小学生了解各类三角 形的特征，加深对各类三角形特征的理解，利于小学生辨识 各类三角形。
“给三角形分类”可以让小学生自己提出分类标准，再 根据自己提出的分类标准来给三角形进行分类，充分体会分 类标准的多样性和不同分类标准下分类结果的多样性。无论 从关注三角形的角的特征来给三角形进行分类，还是从关注 三角形的边的特征来给三角形进行分类都会有一个分类结 果，但要注意区分并列关系的结果和从属关系的结果。两种 分类结果对比教学，有利于辨别分类中的并列关系和从属关 系。可以通过不同的形式直观形象地体现出逻辑关系和不重 复、不遗漏的分类原则：语言表述、字母表示、表格呈现、 图示展现（维恩图）不同的形式有不同的优势，可以相互补 充，扬其所长，避其所短。具体如下：
这种分类研究，对于小学生后续的很多学习非常有帮助。
比如后续学习“三角形的面积”，可以通过分类探究，将三 角形按有无直角来分类，分为直三角形和斜三角形（锐角三 角形和钝角三角形）。因为直三角形面积是相对应长方形面 积的一半，所以直三角形的面积等于相对应长方形面积的 1/2，可以直接得出直三角形的面积等于底乘高除以2。而斜 三角形都可以看成是两个直三角形组合而成，同理斜三角形 的面积也等于底乘高除以2。最终得出三角形的面积等于底 乘高除以2，这样多了一条探究三角形面积的途径。二、课堂纪实 教学课题：给三角形分类。
教学时数：1课时。
执教教师：何景龙。
教学目标：
1.经历三角形分类过程，会正确地给三角形分类。
2.了解各类三角形特征，会正确辨识各类三角形。
学情分析：本节课是在小学生已经具备认识三角形特性 的知识基础上和对分类有了初步感知的思想基础上来探究 如何给三角形分类，并通过分类来认识和辨识各类三角形。
教学重点：经历分类过程，发展分类思想；
认识和体会 各类三角形特点。
教学难点：按照边的特点给三角形分类。
教学关键：激发学生的主动性、参与性以及现代信息技 术的运用。
教学准备：三角形学具和白板课件。
教学课型：新授课。
教学过程：
一、导入：
（出示10个三角形。） 师：你认识这些图形吗？ 生：三角形。（教师板书：三角形。） 师：三角形有什么特征？生1：三角形有三条边、三个顶点和三个角。
生2：三角形有三条边、三个顶点和三个角，还具有稳 定性。
师：你比较喜欢哪一个三角形？ 生1：我比较喜欢10号三角形，因为它有一个直角。
师：谁和她喜欢的不一样，你喜欢哪一个？为什么？ 生2：我喜欢2号三角形，因为它有两条边相等。
师：如果让你对这些三角形进行分类，你打算怎样分？ 生1：可以按照角来分。
生2：可以按照边来分。
师：我们可以先按照角来分，拿出你信封中的10个三角 形，分分看。
二、探究：
（一）按角分。
1.小学生自主尝试按角分。
2.反馈展示分类结果。
师：谁来汇报？说一说你为什么这么分，分后的每一类 三角形有什么特点。
生：1号、10号、4号分为一类，5号、3号和8号分为一 类，6号、9号、7号和2号分为一类。
生：第一类三角形的角中都有钝角，第二类三角形中的 角都是锐角，第三类三角形中的角都有直角。
师：这都是按照什么来分的？生：角。（教师板书：按角分。） 师：按角分，可以将三角形分为哪几类？ 生：钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。（教师同 时板书。） 师：如果用一个椭圆来表示所有的三角形，按照角来分， 应该将这个椭圆分成几部分？ 生：三部分。（同时课件演示红、黄、蓝三部分。） 师：那么，这三部分就可以分别表示为锐角三角形、直 角三角形——谁知道蓝色部分应该填什么？为什么？ 生：钝角三角形。因为一共就分了三类。（课件演示。） 师：在这三类三角形中有一类比较特殊，这类三角形中 有一个角的度数是固定不变的。你知道是哪一类三角形吗？ 生：知道，是直角三角形。
师：观察直角三角形，找出直角边和斜边，你发现了什 么？ 生：斜边比直角边长。
师：所有的直角三角形都这样吗？观察任意变化的直角 三角形。最终验证刚才那位同学的发现怎么样？ 生：斜边比直角边长是对的！（掌声鼓励刚才那个女 生。） （二） 按边分。
1.打乱10个三角形，学生自主尝试按边分。边分边记录 下每一类的编号。2.反馈展示分类结果。
师：你来说，我来做。
生：6号、8号、4号、5号、2号是一类，它们都有相等 的边；
10号、1号、7号、9号、3号是一类，它们都没有相等 的边。
师：这样分类的标准是什么？ 生：有没有相等边。
师：有相等边的分在一起，没有相等边的分在一起。先 来看有相等边的。有两边相等的三角形，通常我们叫作—— 生：等腰三角形。
师：我们一起来认识等腰三角形。
生：腰、顶角、底角、两腰相等、两底角相等。
师：我们一起来观察等腰三角形，看看你们刚才的发现 两腰相等、两底角相等对吗。
（生观察等腰三角形，发现底和腰相等。） 师：你有什么发现？谁还有新的发现？ 生：三条边相等，三个角相等。
师：这样的三角形，叫等边三角形，也叫正三角形。
（生观察正三角形。） 师：你有什么发现？谁还有新的发现？ 生：三个角相等，三条边相等。
师：三角形按照边来分，有相等边的三角形叫作—— 生：等腰三角形。（师板书：等腰三角形。）师：三角形按照边来分，可以分为几类？ 生：两类。
师：哪两类？说一说每类三角形的特点。
生：
等腰三角形（等边三角形、正三角形）、非等腰 三角形。（根据回答，出示下图。） 三、 练习 1.看一看。
师：分类知道这些三角形的区别，其实它们之间是有联 系的，我们一起来看一看，请看动画，锐角三角形、直角三 角形、钝角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的联系。
生：等腰三角形、锐角三角形。
生：等边三角形、等腰三角、锐角三角形、正三角形 …… 师：还有哪种三角形没有出来？ 生：直角三角形。
师：你怎么看出来的？ 生：有一个角是直角。
师：还可以说什么三角形？ 生：等腰三角形。
师：还有哪一类三角形没有出来？ 生：非等腰三角形。
2.猜一猜。
师：信封中可能是什么三角形？3.画一画。
师：你能画出一个这样的三角形吗？既不是锐角三角形、 又不是直角三角形和钝角三角形；
你能画出一个这样的三角 形吗？既是锐角三角形、又是直角三角形或钝角三角形。
四、总结 反思 经过试教发现，以分类思想指导和设计“给三角形分类”， 对于发展小学生分类思想，落实核心素养，以及提升小学数 学教师专业成长大有益处。
1.有利于小学生认识分类，提升小学生的分类能力。
“给三角形分类”可以分为基础分类和拓展分类。基础 分类是：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；
三边互不 相等三角形、只有两边相等三角形和三条边都相等三角形 ……基础分类是分类的基础。小学生在进行基础分类时，不 仅知道了分类对象，明确了分类标准，了解了分类原则，明 晰了分类结果，还通过给三角形分类全面、系统、完整地认 识了分类。
拓展分类是：按有无直角分类，三角形可以分为直角三 角形和非直角三角形；
按有无钝角分类，三角形可以分为钝 角三角形和非钝角三角形；
按是否都是锐角分类，三角形可 以分为锐角三角形和非锐角三角形；
按有无相等边分类，三 角形可以分为等腰三角形和非等腰三角形；
按边是否都相等 分类，三角形可以分为等边三角形和非等边三角形；
按是否对称分类，三角形可以分为对称三角形和非对称三角形…… 拓展分类是分类的关键。
拓展分类是学生后续学习的基石。学生在进行拓展分类 时，可以自己提出分类标准，再按照自己提出的分类标准给 三角形分类，它不仅提供了学习方法上的指导和借鉴，还有 效地提升了学生的分类能力。提出分类标准，需要观察、需 要思考，这就是一种创新，特别是“非”字的使用，它不仅 将分类标准说得很清晰，也将每一类三角形的外延特征描述 得很清楚，非常有利于学生未来的学习和发展，是真正将核 心素养落实在小学数学课堂教学之举，不仅使学生的思维激 活了，还使学生的思维不仅有条理，更有层次和逻辑。思维 发展了，创新就不远了。
2.有利于小学数学教师的专业发展。
通过试教也提升了我和一些教师对三角形按边分和按 角分的认识。在ΔABC中，三个顶点分别是A、B、C，三条边 分别是a、b、c，三个角分别是∠A、∠B、∠C。
则：按照边之间的关系三角形可以分类如下。
最外面的圆表示的是所有的三角形，中间的圆表示的是 等腰三角形，最里面的圆表示的是等边三角形。最外面的圆 与中间的圆构成的圆环表示的是三条边互不相等的三角形， 即a≠b≠c；
中间的圆与最里面的圆构成的圆环表示的是只 有两条边相等的等腰三角形，即a=b≠c；
最里面的圆表示的 是等边三角形，即a=b=c。明显地可以看出按边分三角形之间的逻辑包含关系。如 下图：
这样就与按角分统一起来了，都是用一个圆表示所有的 三角形，不同的是一个是包含关系，一个是并列关系。（见 课前慎思中的三角形图。） 按照角之间的关系三角形可以分类如下：
三个角都是锐角，可以表示为：0°<∠A<90°，且0° ∠B<90°，0°∠C<90°，这是锐角三角形；
一个直角两个锐角，可以表示为：∠A=90°，且0°<∠ B<90°，0°<∠C<90°，这是直角三角形；
一个钝角两个锐角，可以表示为：90°<∠A<180°，且 0°<∠B<90°，0°<∠C<90°，这是钝角三角形。明显地可 以看出三类三角形之间的逻辑并列关系。如下图：
3.有利于核心素养的落实。
学生使用信息技术辅助，像操作学具一样给三角形分类， 分错了，可以拿回来重分；
像画三角形一样，在保证直角不 变的情况下，可以任意拉动直角三角形中的每一条直角边， 变出不同的直角三角形，而不变的始终是有一个直角和两个 锐角，并且始终保持斜边比直角边长，这种人机互动，不仅 有效地突现了教学重点 ，化解了教学难点，更有利于核心 素养的落实。在这一过程中，学生不仅获得了形象、直观的 感受，印象深刻，还实现了从一个直角三角形中的发现，到 一类直角三角形中的验证过程。“给三角形分类”的目的是通过分类后归类，来认识三 角形、研究三角形，了解各类三角形的特征。分类中的“分” 不是目的，归类中的“合”才是目的。“分”是表面上的形 式，“合”才是其内在的实质，教学中既要注重“分”，又 要注重“合”，不仅每一类中的三角形有共同的特征，是相 互联系的，有机地“合”在一起的，各类三角形也是相互联 系的，有机地“合”在一起的。利用现代信息技术可以很好 地将这种“分”中有“合”，“合”中有“分”深入浅出地 呈现在学生的面前，使学生感受到了虽然可以将三角形分成 很多类，但是这些类是有相互联系的，这样才构成了一个有 机的三角形整体，这有利于突破教学关键，沟通了各类三角 形特征之间的联系。
在这一过程中，学生不仅获得了知识，还学会了学习；
学生不仅进行了实践创新，还培养了科学精神。在我的试教 前测中，学生反馈得非常好，我将在后续的第三次试教中继 续进行尝试和探索，感谢为我提供试教的佳木斯市第一小学 的领导和师生以及佳木斯市第二十小学的领导和师生，更要 感谢的是黑龙江省教育学院高枝国主任对我的悉心指导和 大力支持，我将以不懈的努力来回报他们。
本文系黑龙江省教育科学规划“十三五”重点课题“小 学生数学核心素养评价研究”（课题编号：JJB1316037）的 子课题研究成果。本文的录像课荣获第三届全国小学数学录 像课（图形与几何专题）一等奖。