代数类新知课平方差公式四环节教学模式例析
代数类新知课平方差公式四环节教学模式例析 “平方差公式”属于代数类新知课中的公式课，运用四 环节教学模式进行问题设计时，我们重点分析以下两个因 素：一是作为客体的教学内容，主要从结构特征、模型思想、 符号意识、教材地位四个方面进行思考；二是作为主体的学 生，主要考虑学生的年龄特点、思维品质和认知基础.权衡 以上两个因素的具体情况，我们在采用变式教学的主线设计 时，将情境主线“断案高手→说理大师→变式赢家→归纳之 王”隐藏在四个教学环节之中，使情境主线与教学环节交融 互动，一路精彩生成. 第一环节：问题导入之“故事导入” 根据初一年级学生的心理特点和教学内容的结构特点， 在本环节，我们决定用趣味“案情”导入新课，创设了一个 发生在“狼大和羊二”之间的土地租赁事件，以激发学生的 探究欲望和学习情趣，让学生跃跃欲试争当“断案高手”， 同时暗含“知识就是力量”、用知识帮助弱小的价值观引导. ［片段实录］ 师：欢迎来到变式大课堂！今天我们要从一个小故事开 始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租 赁事件（. 课件出示故事和“问题1”） 一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了， 原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3 米，向 北减少了3 米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！不过，估计你也听不懂.我就画两幅图给你看 看吧！（见图1、图2 两个示意图） 羊二看了，连忙对狼大说道：老爷，我听您的！ 问题1：羊二吃亏了吗？ 师：羊二吃亏了吗？ 生：（异口同声）吃亏了！ 师：谁能为这个案子当个“断案高手”吗？（学生纷纷 高举着手） 在本环节教学中，我们用故事中的问题情境导入新课， 自然地将实际问题抽象为数学问题；
运用数形结合思想，将 土地面积问题转化为几何图形问题，突出了数学直观，生动 易懂，也为接下来的新知探究提供了方法和思路. 第二环节：新知探究之“数形结合探究” 教师采用数形结合思想，引导学生进行新知探究，并为 此设计了三个逐层递进的变式题. ［片段实录］ 师：怎么判断羊二是否吃亏呢？（相对于问题1 的“变 式题1”） 生1：计算S1与S2，比较它们的大小.S1=a2，S2=（a＋3） （a－3）=a2－3a＋3a－32=a2＋（－3＋3)a－9=a2－9.师：
若向东增加5 米，向北减少5 米呢？（“变式题2”） 生1：还是一样地计算、比较，羊二还是吃亏. 师：若向东增加b 米，向北减少b 米呢？（“变式题3”）生1：也是一样的. 师：同学们同意吗？ 生：（大声，整齐）同意. 师：我们是不是可以借鉴刚才这位同学的方法推导一下， 这样才好推广吧？（师课件出示图3 示意图，并带领学生进 行计算） S3=（a＋b）（a－b）=a2－ab＋ab－b2=a2＋（－b＋b） a－b2=a2－b2 师：我们通过计算，进一步验证了一般情况下，正方形 边长一增一减会导致面积减少.可羊二没文化，他不会算， 我们有没有更直观的方法，让羊二一看就明白呢？ 生2：我们可以先在这块地的南部向北裁掉一个如图4 所 示的矩形，再向东增加一个如图5 所示的矩形，由图我们很 容易看出，原来的正方形面积少了一个如图6 所示、边长为 3 的小正方形.同样的，若正方形边长向东增加b 向北减少b， 则面积减少b2. 老师竖起大拇指；
其他同学对这一直观的方法非常佩服， 报以热烈掌声. 师：我们从两个角度，一是从代数的角度进行了精准的 计算，二是从几何的角度进行了直观的验证，都得出了（a ＋b）（a－b）=a2－b2这个恒等式.通常二项式乘二项式展 开以后得四项，为什么这组二项式相乘展开以后才有两项 呢？生：（齐声）因为有两项是同类项，互相抵消掉了. 师：为什么能互相抵消呢？ 生：（齐声）因为b 与－b 互为相反数. 师：那么这个等式的左右两边究竟有哪些特点呢？ 生3：等式左边是两个二项式的乘积，且只有a、b两项， 一个二项式是a＋b，一个二项式是a－b，等式右边是a 与b 的 平方差. 师：看来同学们都是“说理大师”啊（. 生笑） 在这个教学环节，教师通过激励学生对“案情”进行推 理、演算，引导学生从代数和几何两个角度来验证自己的结 论，再进一步追问，启发学生对平方差公式的结构进行深层 次剖析，使学生得以自主发现并归纳出平方差公式这个新的 知识点. 第三环节：变式应用之“代数变式的主线设计” 从一道基本题切入，运用代数的“式子变式”沿“系数 变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变”的思维路 径进行变式设计，使问题设计由浅入深、层层推进.根据平 方差公式的结构特点，引导学生对公式进行多角度的变式应 用，可以使学生对平方差公式有更深的理解，有利于培养学 生思维的灵活性和深刻性. ［片段实录］ 师：我们已经认识了平方差公式，接下来我们将—— 生：（齐声）应用.师：（调侃）看来你们很了解呀！（生喜形于色）课件 出示平方差公式基本模型及基本题“问题2”. 平方差公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2 问题2：计算（a ＋3）（a －3） 师：问题2 是否符合平方差公式的结构特点？若符合， 公式中的a、b 分别是什么？ 生4：完全符合平方差公式的结构特点，公式中的a 就 是a，公式中的b 就是3. 师依次出示以下变式题组中的每一个变式，要求学生一 题一题地说一说：该题是否符合平方差公式的结构特点？若 符合，公式中的a、b 分别是什么？比较这一题与上一题发 生了什么变化？依次问答毕，师板写变式题组的变式过程如 下. 变式6：（a＋b＋c）（a－b＋c） 师：结合以上变式题组，你认为平方差公式中的a、b可 以表示什么？ 生5：公式中的a、b 可以表示数，可以表示单独的一个 字母，也就是说既可以表示一个单项式，也可以表示一个多 项式. 师：你的理解非常到位！公式中的a、b 可以代表我们 已经学过的任意一个整式，当然还可以推广到代数式. 师：仔细观察以上变式题组，你对代数中的变式方法有 了哪些了解？生6：我们可以从系数、指数、项数、因式、符号、位 置等角度进行变式，其实就是抓住整式中的基本元素进行变 式. 师：你的理解太深刻了，你能很好地抓住问题的本质， 问题虽然可以千变万化，但都遵循一定的变化规律.我们不 妨把以上变式方法叫做变式策略.你可以说是我们这节课的 “变式大赢家”！（生喜形于色） 引导学生对变式题组中的变式题进行解答，可以使学生 逐步学会分析式子结构，认清公式中的a和b分别代表什么， 能够准确运用公式进行计算，同时了解代数中变式的基本策 略，认清变化的规律，抓住不变的本质. 第四环节：总结升华之“思维导图归纳法” 用问题3 的三个小问为思维支架，引导学生对本节课所 学内容进行梳理，帮助学生自主建构知识体系，厘清知识之 间的联系，并在锻炼解题的过程中训练学生的语言表达能力. 最后引导学生运用“思维导图”归纳本课的知识、方法和蕴 含在其中的数学思想，以此培养学生的综合素质. ［片段实录］ 师：同学们的表现非常出色！那么谁又能成为本节课的 “归纳之王”呢？（课件出示“问题3”） 问题3：（1）对于平方差公式，你有哪些认识？（2） 本节课你印象最深的是什么？（3）你还存在哪些疑惑？ 生7：我认为平方差公式的结构很特别.它是a、b两项的和与a、b 这两项的差的乘积，结果等于a、b 的平方之差， 而且是符号相同的项a 的平方减去符号相反的项b 的平方， 前后不能颠倒. 生8：本节课我学到的知识概括起来有两点.第一点，运 用平方差公式一定要准确地找出公式中的a 和b；
第二，对 于因式中出现三个项或以上，一定要观察各项的符号，再结 合，构造出平方差公式的结构. 两名学生对平方差公式的应用做出了非常全面的概括， 这让在场的老师和同学们都听呆了，继而爆发出雷鸣般的掌 声. 师：好，她们都是“归纳之王”！ 接下来，师课件出示本课知识思维导图（见图8） 教师从学生的角度，启发他们思考对平方差公式有怎样 的认识，鼓励他们说出这节课中印象最深的是什么，激励他 们反思心中的疑惑，独立思考，小组讨论，班级交流，充分 尊重学生在学习中的主体地位. 本节课将问题主线和情境主线相互交融，知、情、意有 机结合.问题主线从数学学科的特点出发，设计出了一条条 理清晰、逻辑严谨的问题链，问题设计抓住了本节课的核心 知识即平方差公式，从平方差公式的发生、发现、发展、应 用及拓展几个层次依次设计出了一个个问题串，将本课的核 心能力、发散思维能力、创造能力等渗透其中，体现了数学 的理性美.情境主线主要从情感态度价值观角度出发，将“授人以鱼不如授人以渔”进化为“授人以渔不如授人以欲”， 从问题情境“羊二吃亏了吗？”开始，层层设疑、层层追问、 步步为营，带领学生逐渐展开本课的“探索发现与应用之旅”， 并运用心理暗示将学生置身于“断案高手”“说理大师”“变 式赢家”“归纳之王”的角色中，引领着学生自主解决了一 个个预先设定好的情境任务，让学生在挑战自我的过程中实 现了自身价值，这也正是执教者想通过情境主线来开启和激 励学生自主探索、自主发现的教学艺术所在.