数学元认知策略与小学数学学习
数学元认知策略与小学数学学习 摘要：在学习时，学习者要学会使用一些策略去评估自己的理解，预计学 习时间，选择有效的计划来学习或解决问题。元认知策略大致可分三种：①计划 策略；②监控策略；
③调节策略。通过几个案例分析，来说明教师应如何帮助学 生提高他们的数学元认知意识。
关键词：元认知学习策略；
计划策略；
监控策略；
调节策略。
一、关于元认知理论的回顾 （一）元认知理论 元认知是20世纪70年代心理学中新兴起的研究内容。在学习的信息加工系 统中，存在着一个对信息流动的执行控制过程，它监视和指导认知活动的进行， 它负责评估学习中的回顾，确定用什么学习策略来解决问题，评价所选策略的效 果，并且改变策略以提高学习效果。执行控制功能的基础是元认知。
1、元认知结构。1976年，美国心理学家弗拉维尔（flavell）在其著作《认 知发展》一书中明确提出了元认知概念。根据弗拉维尔的观点，元认知就是认知 的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，对 思维和学习活动的知识和控制[1]。元认知具有两方面的成分：①对认知过程的 知识和观念（存储在长时记忆中），即元认知知识——知道做什么。②对认知行 为的调节和控制（存储在工作记忆中），即元认知监控——知道何时、如何做什 么。
后来，我国北师大发展心理研究所的专家们（董奇、陈英和等）通过以元 认知的大量研究，提出元认知过程实际上就是指导、调节我们的认知过程，选择 有效认知策略的控制执行过程。wWW.lw881.com其实质是人对认知活动的自我 意识和自我控制。
2、元认知策略。学习时，学习者要学会使用一些策略去评估自己的理解， 预计学习时间，选择有效的计划来学习或解决问题。元认知策略大致可分三种：
①计划策略；
②监控策略；
③调节策略。
（二）数学元认知策略及作用。通过大量教学实践表明，元认知在数学学习活动中存在并起着重要作用。
许多学者移植和借鉴一般元认知的研究成果，在数学学科中的应用，形成 了数学元认知理论。如侧重定性研究的元认知在数学活动中的具体表现；
元认知 在数学教育改革的作用（《数学教育学报》1995.4）；
元认知开发与数学问题解 决（《教育研究》1996、1）；
问题解决中的元认知策略训练（《数学通报》2002、 9）；
以及对数学元认知的性质和培养方面的定性研究。数学元认知策略是应用 于整个数学学习过程的“导航器”，在这种策略的指导下，即使学习中思维受阻， 也会及时校正思维方向，调整思维路径，形成合理的数学认知结构。大量研究结 果表明，数学学习能力强的学生，其数学学习的元认知方面的发展水平都比较高， 即他们对自己的数学学习过程与特点有较清醒的认识，具有较多的有关数学学习 策略方面的知识，并善于灵活地应用各种策略，监控自己的数学学习。数学学习 能力差的学生则与其相反。因此，在具备一定数学基础知识、基本技能的基础上， 数学学习元认知，特别是策略应用方面的知识已经成为数学能力的关键。
几年来，我们对数学学习策略进行了一些研究。在实践中对数学元认知策 略与数学学习活动关系进行了一些探索，下面以案例分析的方式阐述我们的一些 不成熟的观点。
二、学生数学元认知策略和元认知水平的培养 数学元认知水平的提高与学生数学学习策略的掌握是密切联系。我们从提 高数学元认知水平，提高元认知计划、监控、调节能力，增强学生数学学习活动 中的情感体验等方面的探索与实践出发，给出几个案例分析，来说明教师应如何 帮助学生提高他们的数学元认知意识。
〖案例1〗对数学学习活动的计划策略的案例 2002年12月25日，三年级《角和直角》的课堂实录 今天，我们大家一起来研究角和直角。出示课题《角和直角》。
陈老师提问：你们想研究角的哪些知识呢？ 俞陈洁：角是怎么样的？ 俞 杰：角的边怎么是直的？吕冰心：角是三角形的。
陈 金：角是尖尖的。
俞 杰：角是平平的。
陈 金：角是由一个端点两条边的。
师：也就是说大家想研究角的形状（板书：角的形状怎么样？） 吕冰心：角的大小是怎么样的？（板书：角的大小？） 师引导：今天我们研究角与直角，你想知道直角的什么知识？ 俞陈洁：直角的形状是什么样的？（板书：直角的怎样的？） 梁 伟：直角与角有什么不同？ 陈碧辉：怎么来判断这个角是什么直角？（怎样判断直角） 计划策略包括设置学习目标、浏览阅读材料、产生待回答的问题以及分析如 何完成学习任务。
资料来源：陈琦 刘儒德 《当代教育心理学》 北京师范大学出版社 2002 年版199 分析：《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学活 动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说，数 学教学活动要从以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界 作为数学教学的重要资源。
（1）任何一个学生学习任何一项新知识，都不是从一无所知开始的，他 们在学习之前就已经具备与新知识有关的知识和技能。从学生简单而直接的回答 可以看到这一点。如学生提出：“角是怎么样的？”、“角的大小是怎么样的？”、 “直角与角有什么不同？”。有学生自己的脑海中肯定出现相应概念意象（概念名 称相联系的思维图象以及描述它们所有特征的性质……）。只不过不一定是科学 的。从神经科学的研究得出，这种已有经过加工（生活经验积累）的老信息，对新信息（新知识）处理起着关键性作用。当然，我们从一系列学生的问题，可以 看出整堂课的学习目标。
（2）从学习信息加工论的视角看，要使学习得以发生，必须有被激发起 动机的学习者，要促进学习者的学习就要使其具有一种达到某种目标的动力。只 有上述的学习目标建立，学习者想达到目标才会与自己的学习行为联系起来，才 会在一项认知活动之前计划各种活动，预计结果、选择策略，想象出各种解决问 题的方法，并预估其有效性。
综上所述，数学学习开始阶段，明确所学内容的性质（如数学概念学习还 是数学规律学习，是巩固性练习还是综合性问题解决等），对问题情境中的各种 信息有准确的知觉和分类，并对有效信息作出迅速选择，调动头脑中已有的相关 知识，安排学习步骤，选择学习和解决问题的方法，并估计各方法的趋势和成功 可能性，等等，这是学生对自己的数学学习过程进行监控的前提。
〖案例2〗数学学习活动监控策略应用案例 2001年5月17日，四年级学生俞××向陈××老师提出问题 生：陈老师，这几天学习应用题，上课听懂了，当天作业也做对了。但回 家做课外作业时，好象无从下手，也不知为什么（情感体验——困惑）？如题目：
“同学们参加建校劳动，陈刚4次搬砖20块。照这样计算，他再搬3次，一共搬砖 多少块？” 师：读题时要学会自问：这道应用题告诉我们什么条件？什么问题？条件 与问题有什么关系？ 生：“陈刚4次搬砖20块”、“他再搬3次”。
师：这些条件可以知道什么？ 生：（想了一会儿）明白了，前面的可求出每次搬了20÷4=5（块），后 面的（又思考了一会儿）可知共搬了7次。
师：不要急于列式，要学会理解题意，去分析条件与问题的关系。
监控策略是指在认知过程中，根据认知目标及时检查评价认知活动。如检 查学习内容是否被领会，知识的预备度或熟练度是否不足，策略的选择是否有效，目标设定是否过高或过低等等，把偏差找出来，有监视然后才有调节。
资料来源：北京教育学院心理系 《教师实用心理学》 开明出版社 2000 年版112 分析：（1）学习数学的主体对自己的学习和所学知识总有一个评价，评 价包括结果的正确性、解法的有效性、程序的简捷性，计划的可行性，对问题的 理解的正确性等。实质上这就是元认知监控，当然学生并不知道这一点。学生对 自己学习的形成评价，对数学认知活动起收敛作用——数学方法的总结、数学思 想的提炼，使学生对数学问题的整体意识，认知层次更清楚。俞××同学对自己 理解这个题的评价结果是向老师请教解该类题的解决方式（知所以然）。这是一 种对数学认知活动的监控，表现为对数学思维活动中的错误及时纠正，对所存在 的问题及时觉察。
（2）学生在数学学习的认知活动中，必须伴随着情感体验，有的还是自 觉意识，它常使学生依次来调节自己的学习行为。“如果说，老师有比学生强的 地方，那就是老师容易看出哪些可能是弯路，哪些可能会成功，因而弯路走得少 一些，成功的可能性大一些罢了。”我们应该能看到，这种能力要在不断的情感 体验中来累积。小学生处于积极的情感体验与消极的情感体验交替状态。积极的 情感体验能促使主体对原有目标修正，重新调整学习策略。即使遇到思考不清楚 的问题时，也能有勇气、有自信心，想方设法克服困难。常常处于消极体验的学 生，其表现则反之。因而，教师要细心观察学生的情绪变化。尽可能的让不同的 学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。本案例中俞××同学 对自己认知产生怀疑，教师通过在学习策略上的启迪，让学生自己经历找到解决 问题的有效思路。本质的说，就是让学生自己消除了怀疑感。传统课堂教学上， 教师关注的是学生是否会解这道题。教师强加性的反馈，如，“会了吗”、“知道 了吗”、“懂了吗”。很多学生所谓的“会了”，实际上存在差异，如案例中的题， 更多学生是认为此类复杂的归一问题是20÷4×(4+3)，用学生的话说即：“前面大 数（20）除以小数（4），乘以小数（3）加小数（4）。”笔者认为，教师的教学 观应从展现解法转向展现思路的寻找过程。在本案例俞××同学短暂的二段思考， 就使她经历了“目标——结果”的梳理过程。这样的经历不仅让学生学会了解这道 题，更多的是让学生感受到解应用题的内部机制。
〖案例3〗数学学习活动调节策略应用案例[1] 师：同学们，我们一起进行研究。你能用已经掌握的知识或经验来计算 ÷2吗？ 学生活动：（1）学生独立探究，寻求计算方法。
（2）小组合作，交流算法。
师：下面我们一起来交流大家的研究成果，哪一个小组愿意先来汇报。
生：我们组有三种不同的计算方法 方法一：是化成小数计算，÷2=0.8÷2=0.4。
方法二：
÷2= =，就是4个，把4个平均分成两份，就是2个即。
方法三：÷2就是求的一半，的一半就是的是多少，也就是只要乘这个整数 的倒数就可以了，÷2= ×= 。
师：同学们有没有发现刚才这个同学在汇报这种方法的时候，算式中有两 个明显的变化，一是（学生齐说）除号变成了乘号，2变成了倒数。
生：我们组应用了商不变性质，÷2=（×）÷（2×）= ÷1=。
师：老师有一个小小的问题，这里为什么要把被除数和除数都乘呢？ 生：因为乘的话就是把除数转化成1了，这样计算就比较简便了。
师：刚才老师发现这一组的同学有一种很好的方法，你们愿意来汇报吗？ 生：我们组也是应用了商不变性质，÷2=（×5）÷（2×5）= ，把被除数转 化成了整数计算也就简便了。
师；
这种方法也很有意思。同学们真不简单，刚才我们创造了5种计算方 法，现在我们能否对这些方法进行简单地整理呢？请同学们先仔细观察这些算式。
（观察思索，也有学生在跟旁边的同学低声商量）。
生：我把后面的两种归为一种，因为它们都是应用了商不变的性质来计算 的。
生：我觉得其他的几种都可以单独归为一种。师：大家觉得这两位同学有道理吗？ 师：（根据学生的汇报移动板书，并相应地标上序号） ①÷2=0.8÷2=0.4 ②÷2= = ③÷2= ×= ④÷2=（×5）÷（2×5）= 或÷2=（×）÷（2×）= ÷1= 。
师：现在请同学们以小组为单位，把这几种方法尝试着应用于（÷4）中， 看看同学们是不是又什么新的发现。（合作前请各小组先合理地分好工） 生：我们发现÷4不可以化成小数计算，第一种方法不行。第二种分子直接 除以整数的也不行。
生（同一组的学生）：我们组发现第三种和第四种方法都是行的。÷4= ×= ， ÷4=（×）÷（4×）= ÷1= ，÷4=（×7）÷（4×7）=3÷28= 。
生（另外一组的学生）：我对刚才那个同学的意见有点想法，我觉得分子 直接除以整数的这种方法也是可以的÷4= = = = 。
师：唉！同学们请看这位同学的方法，大家说怎样？ 生：也可以的，就是比较麻烦了一点。
师：请同学们仔细观察这几种计算方法，现在大家又有什么新的想法呢？ 生：第三种方法比较方便一点。
师：大家都有同样的想法吗？所以我们把这种方法称为常用的一般的计算 方法方法。
调节策略是在学习过程中根据监视的结果，找出认知偏差，及时及时调整 策略或修正目标；
在学习活动结束时，评价认知结果，采取相应的补救措施，修 正错误，总结经验教训等等。资料来源：北京教育学院心理系 《教师实用心理学》 开明出版社 2000 年版113 分析：数学学习过程中的关键词：“数学反思”。所谓数学学习中的反思， 即自己参与了数学活动，然后脱身出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了什 么事情，把自己所做的过程置于被自己思考的地位上加以感悟，以便意识到深藏 在自己行为后面的实质。数学反思不单是学习经验的总结，更是伴随整个数学学 习过程的定向、监控、分析和解决问题的活动。根据反思时间的不同，killion和 todnem将反思分为3种类型[1]：其一，对于活动的反思；
其二，活动中的反思， 自己的想法、做法进行反思；
其三，这活动反思，这种反思是以上2种反思的结 果，以上述2种反思的结果为基础来指导以后的活动。当前的数学学习存在一大 缺陷，就是过分强调操作化。通常数学学习活动是凭借自己的知识经验（当然我 们不能否认它的价值）进行简单重复的学习。这种活动所依赖的是那些通常并不 清楚的经验和理解进行的自动化的、直觉的操作活动。大多数学生参与数学学习 后，他们不知道这个知识是怎么来的，这样学习有什么有。张奠宙教授在“数学 课程改革热点问题圆桌互动式研讨会”中就提出了我们忽视的主题：反思。他谈 论到：“现在的数学课，往往是前半段课很热闹，学生展示问题，合作探究，但 是对探究出的东西教师没能让学生进行进一步的领悟与反思。课堂不能光图热闹， 我担心现在的课堂体验、经历多了，但是不能从体验中“悟出”一些高层次的东西， 这样下来，学生得不到真正意义上的数学知识。学生对所学的知识进行反思，是 一种更深层次的学习过程。”本案例中，整个学习过程，教师总是让学生在数学 活动中对所学的数学知识进行领悟、反思，进一步对他们的思考进行梳理、提升。
我们可以从二个层面的纬度来分析。纬度一，教师的整体设计渗透了让学生参与 “反思”的意识。他从带有特殊性的知识点÷2引入。这样的引入容易激发学生探究 的潜能。学生在活动的多种方法呈现就很好的说明问题。在此基础上，老师四两 拔千斤，提出新的知识点÷4。让学生自主进行运用。纬度二，教师的引导让学生 参与领悟、理解、整理、……。“生：我们组应用了商不变性质，÷2=（×）÷（2×） = ÷1= 。师：老师有一个小小的问题，这里为什么要把被除数和除数都乘呢？生：
因为乘的话就是把除数转化成1了，这样计算就比较简便了。”老师的小小问题， 老师自己真不懂吗？它给学生们又带来了什么？“刚才我们创造了5种计算方法， 现在我们能否对这些方法进行简单地整理呢？”这样简单地整理，不是对几种方 法的简单确地整理，而是对分数的一系列知识进行有联系的系统化。“把这几种 方法尝试着应用于（÷4）中，看看同学们是不是又什么新的发现。”学生发现了 数学的研究过程，学生发现了分数除法的内在本质。数学教学必须强调“数学本 质”，数学知识的内在联系；
数学规律的形成过程；
数学思想方法的提炼；
数学理性精神的体验；
等等。
文献参考：
[1]陈琦 刘儒德· 当代教育心理学【m】. 北京：北京师范大学出版社 2002 年版 [2]北京教育学院心理系· 教师实用心理学【m】. 北京：开明出版社， 2000 年. [3]中国教育学会中学数学教学专业委员会· 迎接21世纪挑战的数学教育 【m】. 北京：人民教育出版社， 1999年. [4]郑毓信等· 数学学习心理学的现代研究【m】。
上海：上海教育出版 社， 1998年。
[5]陈亮，朱德全· 数学探究教学的实施策略【j】. 数学教育学报， 2003.8 （3） [6]]范良火等· 华人如何学习数学（中文版）【m】。
江苏：江苏教育出 版社， 2005年。