中学尺规作图建议
中学尺规作图建议 尺规作图，顾名思义，是指用没有刻度的直尺和圆规作 图，它起源于古希腊的数学课题．尺规作图只准使用圆规和 直尺有限次，历史上关于尺规作图的著名问题较多，例如， “三等分角”、“立方倍积”、“化圆为方”和“高斯与尺 规作十七边形”等等．笔者作为青年教师在听课的过程中， 不时观摩到教师讲授有关尺规作图的内容，对于尺规作图， 执教的老师各有标准，课后就该内容与老师们的交流中，发 现不少教师认为
初中阶段涉及尺规作图的类型较少;同时， 由于《全日制义务
教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称 《课标》)中对所要掌握的尺规作图的类型和要求比以往教 学大纲有所减少，特别是在中考复习阶段，教师教学中对该 内容的处理“方法单一”或者干脆匆匆带过，学生只要掌握 或者就是记住基本的操作方法即可，对尺规作图在教学中的 作用认识不足，这个现象引起笔者的思考．尺规作图在现今 的初中阶段教学中可作如何调整?调整意义在哪里?在此和 大家做个探讨，谈一点自己的反思和建议． 1应鼓励学生尺规作图方法多样化 尺规作图教学，特别是在复习阶段，对作图方法的复习 只是将书本上的作图过程简单“过一遍”，学生只需理解这 一方法的由来甚至就只是记住即可．其实，方法的多样意味 着考虑问题的出发点的不同，所涉及的知识的也就不同．方 法的不同需要学生自己动手操作，观察、大胆猜想、构思出不同于已有解决问题的画法．在构思画法的过程中，学生运 用所学知识对该画法进行必要的证明．在中考复习阶段，课 程内容已讲授完毕，教师通过对尺规作图问题方法的多样化， 可使学生充分联系前后所学知识，并使知识得以“内化”， 理解更全面和深入．上述作法的原理在八年级即已知晓，但 在中考复习阶段，教师不仅只是帮助学生复习原有作图方法 的由来，还可引导学生分析原有作法，对原有作图的原理进 行新的认识，从而利用前后知识间的联系，突破成法．教学 中在复习处理上述案例1的问题时可以向学生提出是否可以 只作出C点即可?这样可引导学生通过发现△ABC为等腰三角 形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，作出∠C的角平 分线，即可知道该角平分线垂直且平分线段AB．在此过程中， 教师帮助学生从已有的思维定势中跳出;同时，也在一定程 度上展示怎样从已解决问题的基础上“提出问题”，培养学 生“问题意识”． 2教学中对尺规作图的重视还应加强 尺规作图是问题解决的不可分割的一部分．笔者参加一 堂九年级关于三角形全等判定的复习课听课过程中发现，该 班(该班相当部分学生
学习能力偏低)相当部分同学无法确 定为什么“SSA”不能作为三角形全等判定的准则，不少同 学甚至认为“SSA”可以作为三角形全等的判定准则，课后 询问为什么不确定，同学反映教师对这个问题解释过为什么， 要求记住，虽然给出相应的解释，但他们理解起来有困难，因而难免有类似错误在做题中出现．同时，一些关于几何命 题(命题为真)的逆命题是否为真往往不易判断．在几何教学 中，针对某些这样的问题，用尺规作图很容易构造反例，而 且论证直观，思路清晰，具有很强的说明力．同时，应利用 尺规作图对上述问题进一步深入(最好是学生发现，如果没 有，则教师应引导学生将此问题解决．)．由于此处作出的 ∠A为锐角，那么是否∠A为直角或者钝角时“SSA”也不成 立?笔者在同不少同学的交流中发现，绝大部分同学能清楚 的知道在∠A为直角时，“SSA”是成立的(在中考复习阶段， 最好由学生说明理由)，但对于∠A为钝角，则相当多同学认 为不行，其实如图2，在∠A是钝角的时候，对边BC是最大边， 不可能有另外的解，即在∠A是钝角的时候，“SSA”依然成 立． 3.教材中尺规作图的基本类型偏少 按照《课标》所倡导的理念，教学中应强调让学生自己 动手，通过翻折、度量、拼凑、类比等方法进行几何操作， 那么，尺规作图正是包含这样的
活动．实际教学中，尺规作 图是一种“问题情境”的创设，即在某种问题条件下，由学 生自己动手解决问题．
学生能作出一张符合要求的图形，即 使该图形较简单，也是一种具有挑战性和创造性的活动，在 这个活动中，学生探索运用知识，构思作图方法，对所学知 识进行直观理解，兴趣和创新精神得以培养．在几何教学中 强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图的基本类型偏少．笔者曾将案例4中的问题请工作所在学校的九年级部分 学生试做，结果发现绝大部分试做的同学都能构思出解决问 题的办法:如图6，作出∠BAP的角平分线AD，利用切线的性 质，角平分线AD上某点即为圆心．找到该点，以该点为圆心， 以该点和点P两点距离为半径画圆即可．但接下来在如何确 定圆心所在位置，即过点P作直线AP的垂线与角平分线AD相 交时，学生们的做法出现较大差异，归纳起来，可分为以下 几种典型方法:作法1:直接利用直角三角板的刻度线与边沿 的垂直关系画出垂线．作法2:直接利用直角三角板的直角画 出垂线．作法3:直接利用量角器画出垂线．以上三种作法中， 第一种是不规范的操作方法;作法2与作法3是《课标》对垂 线的画法要求．实际上此题的尺规作法属于“过直线上一点 作直线的垂线”，该作法在以前的《教学大纲》上有，现在 《课标》已删除．删去了基本作图类型里的“过直线上一点 作直线的垂线”除了造成初中阶段尺规作图题的不纯粹，也 使教学中失去了培养学生动手操作，在操作中运用所学知识， 加深对知识的理解和掌握的过程．笔者对其中部分同学加以 适当点拨后(利用画线段中垂线的方法或者等腰三角形的 “三线合一”性质)，这部分同学均能理解并迅速利用尺规 画出题目所要求的圆．同时，还发现在案例4中有一个有趣 的现象，即参加试做的同学在画出类似图6的示意图时，相 当多的同学只考虑到给∠BAP作角平分线AD(可能与平时的 视觉习惯有关)，忽视还有一种情况(图7)．但当笔者请他们对图6再仔细看看时，所有学生都能发现这个疏漏，这便是 尺规作图在教学中具有的直观明了．但当笔者要求只用一个 中点作出边BC的平行线时，几乎所有的同学均不能用尺规作 出DE．该作图类型属于现在《课标》中没有的内容:“过一 点作已知直线的平行线”．删去这一条对教学并无多大影响， 但这一条所涉及的作图原理对初中阶段，特别是八、九年级 学生而言是比较容易接受的，在《课标》倡导教学应使学生 “做中学”的理念下，删去这一条使得学生失去一个通过自 己动手和运用所学知识解决问题的机会，比较可惜．事实上， 案例4和案例5中作图所涉及的基本原理是初中阶段几何知 识中最基础，也是最重要的知识，教师可利用这些基本原理， 创设较丰富的“几何问题情境”，学生运用这些基本知识， 借助直尺和圆规，在作图的学习活动中不断思考问题，寻找 问题解决的方法，正是一个观察、操作、验证的过程，这对 于学生加深对这些知识的理解和培养严密的逻辑思维能力 是有益的． 4反思和建议 在尺规作图问题上，以往的教学大纲同现在的《课标》 相比，教学大纲对几何作图的要求很高，需要掌握的类型较 多，包括“直线形”、“圆”、“比例线段”、“面积”四 类．在圆的部分，有作“内接圆”、“外切圆”、“旁切圆”、 “弓形”等;在比例线段中有“内分”、“外分”、“定比” 等;面积部分要求作“和已知正方形等积的正方形”等．其中的大多数已经不符合我们现在教学的发展，需要删减．但 是，其中的第一类:关于直线形的作图类型，即以下7条:1． 作一角等于已知角;2．已知三边或两边一夹角或两角一夹边 作出三角形;3．过已知点作已知直线的垂线;4．过一点作已 知直线的平行线;5．平分一角;6．作已知线段的垂直平分 线;7．分一线段为n等份．上述7条却是应该保留的，这7条， 简单、准确、实用、理性，是尺规作图的精华所在，试想， 如果学生都理解以上7条作图步骤的由来，都能用圆规和直 尺将其作出，那么对整个初中几何知识的组成和结构就会有 个清楚的认识［2］．有了这7条，本文案例中涉及的一些问 题也就迎刃而解．实际教学中，这7条学生十分容易理解和 接受，也便于操作．《标准》没有1，3，4，却要求5，6， 这一点值得商榷．同时，上述7条与图形运动有密切的联系． 《课标》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换， 尺规作图是实现图形运动的极佳手段．从逻辑上看，尺规作 图作为图形变换的一种手段是成立的［3］．比如，作一角 等于已知角的操作中，先是用直尺作一条射线，再用圆规以 已知角的顶点为端点，在已知角的一边上画弧截取一段线段， 再在射线上截取线段，使其长度等于已知线段，其中截取的 过程，实质是以射线端点为圆心，以已截取线段长为半径画 弧，交射线于一点，其中射线的端点是所作的线段的一个端 点，弧与射线的交点是线段的另一个端点．这里体现了线段 的两种“运动”，用圆规在射线上截取线段的长度，可以看作是平移，而画弧的过程，实质是旋转变换．再如，平分一 个角，使用圆规直尺可以顺利地作出来，且方法严谨缜密， 这种基本的作图方法，是学生掌握图形对称的直观根据．鉴 于此，笔者认为在初中阶段的几何教学中可根据学生学习情 况，创设问题情境，适时将以上7条中的某些部分引入教学， 对已有的尺规作图方法进行充实和完善．同时，在教学中可 采用这样的步骤:①要求学生画出草图，假设图形已作出;② 根据图形分析画法;③利用尺规严格操作并写出作法;④对 作法进行证明，某些作法来由尽可能要求学生“一法多证”． 学生按照这样的步骤进行作图学习的过程，正是一个猜想、 观察、操作、验证的过程，这一过程符合学生的认知特点， 有助于学生养成严谨的学习习惯，培养严密的逻辑思维能力， 也有利于激发学生的兴趣和创造性．