促进高中生数学探究的课程资源库建设概述
促进高中生数学探究的课程资源库建设概述 【编者按】“数学探究”是当下课程标准强调的重要的 数学学习活动和方式。“数学探究”离不开合适的课程资源 （教学素材）。近年来，南京师范大学附属中学数学教研组 开展了“促进高中生数学探究的课程资源建设”研究。本刊 将在“课程改革”栏目陆续呈现他们的相关研究成果。本期 刊发的《促进高中生数学探究的课程资源库建设概述》呈现 的是他们的总体研究思路。摘要：《普通高中数学课程标准（实验）》首次提出了 “数学探究”的学习方式。《普通高中数学课程标准（征求 意见稿）》进一步重视和强化了“数学探究”的学习活动。
建设促进高中生数学探究的课程资源库，能够积累更多的数 学探究素材，让学生有更多的机会开展数学探究活动；
可以 从“融入课堂的数学探究资源库”“源于教材的数学探究资 源库”和“依托研究性学习的数学探究资源库”三个方面入 手。开展数学探究活动能够促进学生主动地学习数学，深刻 地理解数学；
学生有开展数学探究活动的热情和能力。
在我国历次的高中数学“教学大纲”或“课程标准”中， 2003年的《普通高中数学课程标准（实验）》首次提出了“数 学探究”的学习方式。其在课程基本理念中指出：“高中数 学课程设立‘数学探究’‘数学建模’等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件， 以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成 独立思考、积极探索的习惯。”又在内容标准中指出：“数 学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的 重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。
高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模 活动。”“数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕 某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观 察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当 的数学结论或规律，给出解释或证明。” 2016年对《普通高中数学课程标准（实验）》进行修订 的《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》进一步重视和 强化了“数学探究”的学习活动。其在课程结构中专门给必 修和选修I课程设置了“数学建模与探究活动”主题，与“函 数”“几何与代数”“统计与概率”等主题并列；
并给必修 和选修I课程中的“数学建模与探究活动”主题分配了具体 的课时。又在课程内容中指出：“数学探究活动是围绕某个 具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学 问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题， 猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自 主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学 知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学 课程的重要内容。”建设促进高中生数学探究的课程资源库，能够积累更多 的数学探究素材，让学生有更多的机会开展数学探究活动。
一、 数学探究活动的意义及可行性 现代学习理论认为：“学生主动探究的学习活动，是一 种学习的理念、策略、方法，适合于学生对所有学科的学习。” 数学探究活动有助于学生了解数学概念和结论产生的过程， 理解直观和严谨的关系，尝试数学研究的过程，体验发现和 创造的激情，建立严谨求实的科学态度和不怕困难的科学精 神；
有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生 发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；
有助于 提高学生的创新意识和实践能力。
那么从学生的角度看，数学教学中开展数学探究活动是 否可行呢？带着这样的疑问，我们于2014年秋对我校高二年 级部分学生进行了问卷调查，调查结果如表1所示（其中实 验班为学生学业成绩相对较好的班级，普通班即平行班）。
从表1可见：尽管学生的学业水平不同，数学探究能力有一 定的差异，但是大多数学生支持数学探究活动的开展且对数 学探究活动有着浓厚的兴趣。
二、 课程资源库的架构设置 通过对数学探究活动的意义及要素的思考、分析与论证， 我们确立了从以下三个方面建设促进高中生数学探究的课 程资源库的思路。
（一） 融入课堂的数学探究资源库“数学探究活动应根植于日常教学活动之中，在日常教 学活动中不失时机地体现。”为此，我们在日常课堂教学中 注意通过具体的问题情境，激发学生的思维，让学生的思维 处于“愤悱”的状态，并运用已有的知识和方法，通过自主 探索、合作交流等学习方式，建构新的知识（概念、定理等） 或方法，从而激发学生的探究欲望，提高学生的探究能力。
融入课堂的数学探究资源库建设，就是由教师从教材中 选择一些适合于学生利用课内时间开展数学探究活动的教 学内容，编入“融入课堂的数学探究资源库”。
【案例1】“指数函数的性质”探究教学过程 师我们定义了一个新的函数，即指数函数y＝ax（a＞0 且a≠1），接下来该研究什么呢？ 生研究性质。
师如何研究指数函数的性质呢？（停顿）一般地，我们 研究函数的哪些性质呢？ 生变量取值范围（定义域、值域）、单调性、奇偶性。
师（板书“函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调 性”）这些是我们研究函数的一般性质。具体到指数函数， 你打算怎样研究这些性质呢？ 生画出它的图像，然后观察图像，得到性质。
师画什么样的函数图像呢？画y＝ax的图像吗？ 生先研究几个具体的指数函数，再研究一般情况。
师先研究几个具体的函数图像的特点，再进行归纳猜想。这就是我们对于指数函数研究的一个策略了，还有没有别的 研究策略？ 生研究它的奇偶性和单调性时，我们可以通过数学证明 而不是通过画出图像得到这样性质的。
师你是想将这两个方面结合起来，不能仅通过图像来观 察，也希望通过代数式来加以证明。在归纳猜想之后，也可 以进行证明或说明。(停顿)下面，请大家（同步板书）“选 取数据→画出图像→观察特征→归纳性质→证明或说明”。
（学生作图，教师巡视。约7分钟后，教师选取4位学生 的结果进行投影，并请相关的学生作出说明。） 生我在两个不同的坐标系中分别作了y＝2x和y＝ (1/2)x的图像，归纳出以下的性质：a＞1时单调增，0＜a＜ 1时单调减；
既不是奇函数，也不是偶函数；
x∈R，y∈（0， +∞）；
过定点（0，1）；
y＝ax的图像和y＝(1/a)x的图像 关于y轴对称。
师你是怎么知道所得到的单调性是正确的呢？ 生因为生活实践，比如对于y＝(1/2)x，一块蛋糕，切 了一半，然后再切一半……蛋糕越来越小。
师你在两个坐标系里画了函数图像，怎么能够知道它们 关于y轴对称呢？ 生因为我发现这两个函数自变量取相反数时函数值相 等。
师下面的同学在陈述时，请注意对自己的猜想作一些简单的证明或说明。
生我在同一个坐标系中作了y＝2x和y＝(1/2)x的图像， 得到了与他相同的结论。现在对过定点这一性质作如下说 明：当a>0且a≠1时，因为a0的值恒等于1，所以y＝ax的图 像恒过定点（0，1）。
生我在一个坐标系内作了y＝2x的图像，在另一个坐标 系内作了y＝2x和y＝(1/2)x的图像，也得到了上述性质。现 在对对称性做如下说明：由于2x＝(1/2)-x，所以ax＝(1/a) －x，所以y＝ax的图像和y＝(1/a)x的图像关于y轴对称。
师如果f（x）＝2x，那么g（x）＝12x＝f（－x）。易 得y＝f（x）与y＝f（－x）图像关于y轴对称。（停顿）大 多数同学画了两个函数的图像，但是也有画了四个函数图像 的。
生我在同一坐标系内画了y＝2x，y＝3x，y＝(1/2)x，y ＝(1/3)x的图像，并得到了“a与1越接近，y＝ax的图像越 平坦”这一性质。
师我们发现，0＜a＜1和a＞1时，它们的函数图像是不 同的，由此得到指数函数的性质。那么对于奇偶性，还可以 用代数方法论证。对于单调性，有些同学没有写出对应的单 调区间，我们也没能给出证明，有些遗憾。单调性当然可以 通过图像来验证，但是应该怎样证明呢？自己回去思考，看 看能不能利用定义加以证明。
（教师利用几何画板投影展示0＜a＜1和a＞1时的函数图像，并投影指数函数的性质。） 在数学教学中，“问题”是引发学生思维与探究活动的 向导。“好”的问题可以激发学生的好奇心、启动学生的思 维，并使学生产生持续的学习动力，形成有效的数学探究活 动。指数函数是高中生在学习了函数的概念、图像与性质后 研究的第一个具体的函数模型。这里，教师以“你打算如何 研究指数函数的性质”为核心问题，引导学生开展课内数学 探究活动。在此基础上不断追问：“一般要研究哪些性质？” “怎样研究这些性质？”从而让学生充分调用已有的知识与 方法储备，得到“选取数据→画出图像→观察特征→归纳性 质→证明或说明”这一研究路径，帮助学生形成主动探究的 意识，提高探究能力。通过这一函数模型性质的探究，学生 不仅得到了指数函数的性质，还能体验到研究函数性质的一 般方法。
（二）源于教材的数学探究资源库 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学探究 课题的选择应该多样化，可以是某些数学结果的推广和深入， 不同数学内容之间的联系与类比，也可以是发现和探索对自 己来说是新的数学结果。数学探究课题可以从教材提供的案 例和背景材料中发现和建立，也可以从教师提供的案例和背 景材料中发现和建立，应该特别鼓励学生在学习数学知识、 技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研 究。”为此，我们结合高中数学教材中的相关内容（可以是教材中的定理或性质，也可以是教材中的例题或习题），提 出一系列具体的数学问题，指导学生开展有意义、有价值的 数学探究活动。同时，我们还鼓励学生从教材中的相关问题 出发，自主设计数学问题，开展数学探究活动。
源于教材的数学探究资源库建设，就是由教师或学生从 教材中寻找能够继续进行数学探究的问题（这些问题可以是 对教材上已有的结论的推广、深入和创新，也可以是对教材 上不同的内容的联系、类比和迁移），让学生利用课内外时 间开展数学探究活动，形成探究的成果，再由教师选取有意 义、有价值的探究成果，编入“源于教材的数学探究资源库”。
【案例2】“二次曲线的切线方程”探究问题与结论 背景已知圆C的方程是x2＋y2＝r2，求证：经过圆C上一 点M（x0，y0）的切线方程是x0x＋y0y＝r2。
探究1已知点M（x0，y0）是圆C：（x－a）2＋（y－b） 2＝r2上一点，求经过点M的圆C的切线方程。
结论1经过点M的圆C的切线方程是（x－a）（x0－a）＋ （y－b）（y0－b）＝r2。
探究2已知点M（x0，y0）是圆C：x2＋y2＝r2外一点， 求方程x0x＋y0y＝r2所表示的几何意义。
结论2由点M向圆C引两条切线MA、MB（A、B为切点）， 方程x0x＋y0y＝r2表示直线AB。
探究3已知点M（x0，y0）是圆C：（x－a）2＋（y－b） 2＝r2外一点，求方程（x－a）·（x0－a）＋（y－b）（y0－b）＝r2所表示的几何意义。
结论3由点M向圆C引两条切线MA、MB（A、B为切点）， 方程（x－a）（x0－a）＋（y－b）（y0－b）＝r2表示直线 AB。
探究4已知点M（x0，y0）是椭圆C：x2/a2＋y2/b2＝1（a ＞b＞0）上一点，求经过点M的椭圆C的切线方程。
结论4经过点M的椭圆C的切线方程是xx0/a2＋yy0/b2＝ 1。
探究5已知点M（x0，y0）是椭圆C：x2/a2＋y2/b2＝1（a ＞b＞0）外一点，求方程xx0/a2＋yy0/b2＝1所表示的几何 意义。
结论5由点M引椭圆C的两条切线MA、MB（A、B为切点）， 方程xx0/a2＋yy0/b2＝1表示直线AB。
“当学生能看到各个数学分支之间的联系时，他们就开 始形成一个整体的观念。当他们在原有的基础上学习新的概 念时，他们又会逐渐认识到各个数学问题之间的联系。”在 教学中，教师要努力促使学生认识并应用数学概念之间的相 互联系，帮助学生逐步理解数学观念是如何相互关联和相互 依赖的，进而形成一个连贯的整体。“二次曲线的切线方程” 是解析几何的基本问题之一。这里，从苏教版高中数学教材 必修2中的一道习题出发，设计了探究1、2和3，让学生开展 课外数学探究活动，通过自主探究不仅加深了学生对圆的切 线的认识，而且能促使学生更好地理解解析几何的基本方法（用代数方法研究几何问题），从而使学生在掌握解决问题 的方法的同时，形成良好的探究意识。在学习了直线和椭圆 的位置关系之后，又可以让学生完成探究4和5，将圆的切线 与椭圆的切线进行类比、迁移，使学生可以结合前面已有的 结论对新问题的结论先进行猜想，再进行严格的代数论证， 这样不仅有利于学生形成探究习惯，发展探究能力，而且有 利于学生从整体上认识切线的相关性质。此外，在学习了双 曲线和抛物线之后，还可以鼓励学生对类似的问题开展探究。
（三） 依托研究性学习的数学探究资源库 《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“‘数 学探究活动’以课题研究形式开展”，在必修课程中“课题 可以由教师给定，也可以由学生与教师协商确定。课题的研 究过程包括选题、开题、做题、结题四个环节……学生可以 采取独立的方式或小组合作的方式，完成课题研究”，在选 修Ⅰ课程中“‘选题’可以在教师的指导下自主选取，也可 以在必修‘数学探究活动’所作的研究基础上继续深入研究。
按照必修部分的要求完成开题、做题、结题的过程。如果选 题不变，需要在研究报告中说明与必修研究的差异，深入研 究所采用的新思路、新方法，得到的新结果……”这里所说 的“数学探究活动”实际上是指“研究性学习”，通常是指 学生在教师的指导下，从自然、社会和生活中选择和确定研 究专题，以类似于科学研究的方式主动地获取知识、应用知 识、解决问题的学习活动。为此，我们按照学生的年级特点，自行给出或鼓励学生 自主设计研究性学习课题，让学生独立或小组合作来经历选 题、开题、做题、结题四个环节，完成研究性学习课题。在 开题、结题环节，我们组织开题论证会、结题论证会，由3 ～5名教师组成评委会，学生汇报开题报告或结题报告，评 委对其进行论证、质疑，学生对其进行答辩，最终评委会对 课题给出评价结果。在选题、做题环节，指导教师（一般为 学生的任课教师）对学生的选题、课题研究的过程进行指导。
依托研究性学习的数学探究资源库建设，就是将过去若 干年来学生所做的数学研究性学习课题进行分类、汇总，选 取其中一些有意义、有价值的课题，形成“依托研究性学习 的数学探究资源库”。
【案例3】“三次函数的性质”探究成果 已知三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中a、b、c、 d为给定的实数，且a≠0，x∈R。记函数f（x）的图像为曲 线C。
1. 曲线C一定是中心对称图形，对称中心为O′(－b/3a， f(－b/3a))，对称中心的横坐标就是函数f（x）二阶导函数 f″（x）的零点。
2. 已知点P、Q是曲线C上不同的两点，直线l1、l2分别 是曲线C在点P、Q处的切线，则直线l1、l2一定不是同一条 直线。
3. 已知点S是曲线C上的动点，当且仅当点S在曲线C的对称中心O′时，过点S且与曲线C相切的直线有且仅有1条；
当点S在除O′外的其他位置时，过点S且与曲线C相切的直线 恰有两条。
4. 如图1，记过曲线C的对称中心O′且与曲线C相切的 直线方程为y＝h（x），过坐标平面内任意一点M（m，n）作 曲线C的切线l，则有：
高中数学教学中经常会遇到各种不同的三次函数问题。
学生从已有的知识（三次函数）和方法（用导数研究函数） 出发，提出了“三次函数的性质研究”这一课题。然后，他 们通过向老师请教、文献检索等方式，分析、讨论选题的可 行性，确定研究的方案。接着，他们借助于电脑画图软件进 行直观演示，猜测数学结论，明确了解决问题的思路；
通过 自主探究、合作交流等方式，耐心细致地进行代数论证，获 得了上述研究结论。这样的数学探究活动能够让学生经历科 学研究的一般过程，感受其中的艰辛与喜悦，从而促使学生 逐渐形成主动探究的习惯，养成创新意识和实践能力。特别 值得一提的是，这里的结论1就是2017年高考江苏卷第20题 所考查问题的一般性结论。
三、 研究体会 在开展“促进高中生数学探究的课程资源库建设”研究 的过程中，我们有以下一些体会：
首先，开展数学探究活动能够促进学生主动地学习数学。
在上述三种课程资源库建设的过程中，既有教师提出的探究主题，又有学生自主确立的探究主题，而且形成了研究成果。
这就有利于学生形成自主发现问题和主动探究问题的意识， 有利于学生发挥想象力和创造性，能促进学生主动学习。
其次，开展数学探究活动能够促进学生深刻地理解数学。
融入课堂的数学探究活动能够让学生经历数学概念和结论 的产生过程；
源于教材的数学探究活动能够让学生更加全面、 深刻地认识已有的数学结论，并加以推广、深化或创新；
依 托研究性学习的数学探究活动有助于学生体验利用科学研 究的方法研究数学的过程。这些，都能够很好地促进学生理 解数学。
第三，学生有开展数学探究活动的热情和能力。相比于 传统的“做题”，数学探究活动趣味性更强，因此，学生更 乐意开展这种“有意思”的数学探究活动。无论是从前面问 卷调查的数据来看，还是从实践操作过程中学生的表现来看， 他们对数学探究活动大多表现出极大的热情，投入了较多的 精力，得到了很多有价值的结论。
因此，我们希望能够在更大范围内，有更多的学生参与 到数学探究活动中去。
*本文系江苏省教育科学“十二五”规划课题“促进高 中生数学探究的课程资源库建设研究”（编号：
C-c/2015/025）的阶段性研究成果。参考文献：
［1］ 霍益萍．研究性学习：实验与探索［M］．南宁：
广西教育出版社，2001. ［2］ 张云飞．数学探究活动应植根于日常教学活动之 中［J］．数学通报，2008（7）. ［3］ 刘明．第六届全国高中青年教师优质课观摩与展 示活动观后感［J］.数学通报，2013（9）. ［4］ 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则 和标准［M］．蔡金法等译.北京：人民教育出版社，2004.