关注体验，强化逻辑，注重认知——初中数学教学的重要思路
关注体验，强化逻辑，注重认知——初中数学教学的重要思 路 初中数学以小学数学为基础，初中生在数学学习中擅长形象思维，初中数 学教学在原有知识基础上，通过数学情境的创设以促进有效的活动体验，并在此 基础上借助逻辑推理生成数学认知，是重要的教学思路. 三角形内角和定理是初 中数学基础性内容. 在体验之后让学生经过逻辑推理，可以发现任意三角形的内 角和均为180°. 这是一个逻辑推理结果为真的陈述. “定理”是本课可以实施认知 教学的数学概念. 人教版初中数学教材中，将三角形安排在七年级下册，这样的安排显 然是从知识本身来考虑的. 一方面，学生在小学阶段已经学过了三角形的相关知 识;另一方面，初中阶段又对此知识提出了新的要求. 如何在学生已有的知识基础 和生活经验基础之上，将三角形这一“冷饭”炒出新味，是数学教师需要认真考虑 的问题. 笔者分析了学生在小学阶段的学习情况(主要依据教材设计与对学生的 口头调查)，感觉初中阶段的设计思路既要依靠学生原来的知识，同时又不能忽 视基本的体验，更重要的是要促成数学认知的形成，这样才能使三角形的知识在 学生的数学知识体系中成为一个坚实的结点，进而提升学生的数学学习品质. 本 文试以“三角形的内角”这一知识点为例，谈谈笔者的教学思路. 关注已有认知基础 三角形的内角在小学数学中已有涉及，对其内角和为180°也已经有了 测量、剪纸等方法证明，也就是说初中阶段这一知识点的教学结果，学生是已知 的. 这就对实际教学提出了一个挑战，如何让学生在初中阶段这一知识的学习中 有新的收获，将直接决定着学生在这一阶段的学习状态，也关系到学生对初中数 学的认识. 实际上，这里涉及了两个层面：一是知识层面;二是学生的学习心理 层面. 这也是以“认知基础”这一概念来界定的重要原因. 知识层面自不待言，结 果都已经知道了，似乎就没有什么好学的了;心理层面除了关系到学生的学习状 态之外，对教师的挑战在于应当设计什么样的学习过程，以将学生吸引到学习过 程中来. 仔细研究学生已有的学习过程，会发现学生原有的学习过程有两个重 点：一是在教师指导下的剪纸活动;二是教师要求下的结果记忆. 而这样导致的结 果就是学生到了初中之后，一般只记得结果而忘记了过程. 于是教学思路也就相对明晰了：初中阶段对三角形的内角的教学，应当重在学习过程的设计，应当重 在学生体验的设计，应当努力让学生在自主性发挥的基础上，能够对三角形内角 和产生更为深刻的数学认识. 宏观思路已定，那下面的重点就是教学环节的设计了. 设计新的体验情境 情境对于学生构建数学知识的意义是不言而喻的，尤其是对于初中学 生而言，形象生动的情境，往往能够让学生的形象思维得到充分的运用，从而实 现有效或高效学习. 那么，对于三角形的内角这一知识而言，可以设计什么样的 情境呢 《义务教育数学课程标准》(2011版)在描述课程设计思路的时候，有 这样的一段描述：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的 经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解 决问题的过程.” 这段描述对于初中数学的隐喻意义是深刻的，初中数学只有重 视学生的体验，才能让学生在构建从生活数学到抽象数学的过程中有所依靠，也 就是说只有体验，才能让擅长于形象思维的初中学生思之有物，进而思之有果. 既然如此，三角形的内容就可以以学生的体验为突破口，去设计教学过程. 几经思考，笔者创设的体验情境是这样的：第一步，给出用长木条构 成的三角形、四边形、五边形(接头处打孔穿螺丝)等学具，每组各一个，由学生 自己去摆弄. 学生自然会发现稳定性不同，这样就可以通过稳定性将学生的注意 力吸引到三角形上来. 这一步花费也就一两分钟的时间，却可以瞬间凝聚学生的 注意力. 第二步，让学生将给出的四边形变形为长方形，并向学生提出问题：此 时长方形的四个角之和为多少度学生稍加盘算就知道是360°(因为四个角都是 90°). 第三步，让学生观察三角形，并提出问题：三角形的内角和为多少度这一 步需要给出充分的时间让学生去观察思考. 教学实践表明，此时学生观察的对象 就是三角形与长方形，他们会下意识地将两者进行比较. 而这种下意识的行为， 正是本情境需要的关键——只有在这种状态下，学生的体验才是真实的、自然的， 也才能为后面的学习奠定基础. 如果不出意外，此时会有数个数学基础较好的学 生有新的点子出来，比如说有学生会用一支笔充当长方形的对角线，进而发现其 变成了两个三角形. 由于长方形的四个角是360°，那两个三角形的内角就分别应 当是180°了.体验至此，本环节似乎也就结束了，而这样的设计似乎也看不出什么 新的创意. 事实并非如此，因为笔者发现新的惊喜常常会悄然而生. 引向数学逻辑途径 就在大部分人以为问题已经解决了的时候，笔者抛出一个问题：三角 形的内角一定是180°吗会不会这个三角形与那个三角形的内角和不一样 应当说这是一个非常规的“古怪”问题，而笔者感觉这个问题看起来似 乎没有道理，但其实却给出了一个重要命题：要求三角形的内角和，那实际上有 一个前提，即所有三角形的内角和应当是一样的，只有这样，这个问题才有意义;反之，如果三角形的内角和不具有固定结果的特征，那本问题就没有价值了. 事实上，在教学中，这个问题也确实让原本柳暗花明的课堂又进入了 山重水复的状态. 学生会发现，刚才的体验已经不能解决这个问题. 也正是在这 种情况下，有学生回忆起了之前用过的剪纸法，并且当众给出了剪纸法的操作. 在这个学生的示范之下，绝大多数学生都回忆起了当时的这段体验，并进而否定 了笔者的问题：你看，任意给出一个三角形，用剪纸法可以得到三角之和都是 180°. 应当说学生此前的体验加上此时的演示，已经让学生的学习经过了一 个充分体验的过程，在这个过程中学生对三角形的内角尤其是内角和的认识已经 积累了大量感性的认识，下面要做的就是理性思考. 而这一过渡应当由教师的问 题来过渡，问题很简单：无论是剪纸法，还是用量角器去测量，或者用简单的逻 辑推理，都无法得出三角形内角和的一般规律，只有通过严谨且符合逻辑的数学 证明，才能为问题的解决找到最佳的答案. 于是，学生的思路就被引向了数学推 理. 下面的教学思路是明确的，关键在于教师如何引导学生自主发现证明 方法. 比如说，怎样才能让学生想到过三角形某个顶点作另一边的平行线呢或者 说怎样才能让学生想到延长某条边，然后过该顶点作另一对边的平行线呢事实上， 本证明中，这才是关键，一旦给出了这条辅助线，下面就只是平行线定理的相关 应用了. 因此，笔者设计引导学生自主思考平行线的作出，为本环节教学的重点. 具体的引导是这样的：现在的基本思路是证明三角形的内角和是180°，但在我们 面前并没有现成的180°的角. 但是我们心中又是有180°角的，请同学们构思一下 180°的角是什么样子. 学生很快就能想到其实就是一条直线(也有学生想象成一条射线转过180°). 于是再给出下面的问题：怎样才能将三角形的三个内角与大脑 中构思的180°角联系起来事实上，在这个问题抛出之后，学生更多想到的是第二 种思路，即确定任意一个顶点，然后延长某个边，再要想的办法就是将另两个内 角“转移”到这个地方来. 显然，这就要将外角分成两个角，如果两个角的大小恰 好等于另两个内角，那么问题就迎刃而解了. 问题分析到这里，绝大多数学生的思路就清晰了，刚刚学过的平行线 的知识，立即就在此发挥了作用. 待平行线作出，利用同位角和内错角的关系， 答案顺利得出. 且同时能够回答那个“古怪”的问题：任意三角形的内角和都应当 是180°，因为任意三角形都可以通过此方法来证明. 实现数学认知形成 经过了体验与逻辑推理之后，学生的基本认识已经形成，下面要做的 事情就是将体验认识上升为数学语言. 就本知识而言，“三角形三个内角的和等 于180°”的语言可以顺利获得，因为这样的描述既是生活语言，也是数学语言. 笔 者确定的重点在“三角形内角和定理”这一概念上，在初中数学教学中，学生对“定 理”这一概念的认识并不深刻，尤其是在七年级阶段，学生还只认为其为一普通 概念，因此，笔者认为此时是一个加强学生认识定理概念的机会. 所谓定理，即为经过逻辑证明且为真的陈述. 在刚才的学习过程中， 学生通过体验加逻辑推理获得了三角形内角和的一般规律，结果显然为真，于是 告诉学生数学上对于此类命题，都会以定理称之. 换句话说，以后遇到类似的经 过逻辑推理且结果正确的，一般都可以冠之以定理之称. 通过这样的认知生成， 让学生认识到数学有本身固有的语言. 而这种概念性的数学语言，是可以在学生 的数学学习中起到催化作用的，数学认知结构的构建，正是建立在此类数学语言 基础之上的. 作者：周兵 来源：数学教学通讯·初中版 2016年3期