工程硕士课程数值分析教学改革措施
工程硕士课程数值分析教学改革措施 摘要：从工程硕士的培养目标出发，对数值分析课程进 行教学改革探索。首先，从改革教学理念着手，改变传统的 填鸭式教学模式，要重视算法的思想方法和计算能力的培养， 多举一些工程实际应用中的例子，让学生认识到这门课是非 常有用的；其次，在教学手段上采用了多媒体、板书与ＭＡ ＴＬＡＢ软件相结合的方式，避免了传统教学中只用板书的 单一模式；
另外，在教学内容上做了适当的取舍，在考试题 型和成绩考核等方面也做了相应的改革。以上教学改革取得 了明显的教学效果，为提高学生的数值计算能力奠定了基础。
关键词：数值分析；
教学改革；
数值计算能力；
工程硕 士 引言 随着计算机技术的快速发展与普及，科学计算已经成为 一种重要的科研方法，与科学计算密切相关的数值分析课程 也已经成为高等学校工科专业研究生的一门重要公共基础 课。数值分析课程的教学目标是使学生系统掌握数值分析的 基本思想、基本概念、基本理论和基本算法，教学中以提高 学生数值计算能力和解决工程实际问题的能力为重点。它与 其他数学类课程的最大不同点在于它强调计算机的应用，它 不仅提供了利用计算机进行求解数学问题的数值方法，而且 为学生提供了一些解决工程实际问题的近似计算思想，解决 了传统高等数学和线性代数课程中无法解决的计算问题，能够开拓学生的视野，培养学生使用计算机进行科学与工程计 算、解决工程实际问题的能力，这是其他数学课程都无法做 到的。然而，目前的教学模式很难达到这一教学目标。长期 以来，国内数值分析课程教学中普遍存在教学理念陈旧，教 学内容枯燥，教学方法单一，理论与实践严重脱节等问题， 很多高校将数值分析作为一门纯粹的数学理论课程来讲授， 并没有使用数学软件进行程序设计，这使学生很难对数值分 析的一些重要特征（如算法的稳定性和计算速度，龙格现象 等）有深入的理解，造成传统教学中一般只讲算法原理和误 差分析，而不涉及数值实验。数值分析是在沈阳工程学院工 程硕士研究生的公共基础必修课，其重要性是毋庸质疑的。
工程硕士的培养侧重解决工程实际问题，在课程的内容上也 应侧重于应用性和实践性。从２０１２年起，笔者相继承担 了沈阳工程学院电力工程、热能工程这两个工程硕士专业的 数值分析课程。经过几年的教学积累，数值分析课程于２０ １５年７月被评为沈阳工程学院研究生精品课程。在这２年 的精品课程建设过程中，以提高教学质量，培养工程硕士研 究生的数值计算能力、解决工程实际问题的能力为目标，全 面深入教学改革，在实践中取得了良好的效果。本文将从以 下几个方面详细阐述数值分析课程改革的思路和措施。这是 笔者在教学过程中的体会，供大家批评指正。
１数值分析课程教学改革的思路和措施 １．１教材与教学内容合理取舍数值分析课程内容多，课时少，只有４０学时。在学时 非常有限的情况下，考虑到沈阳工程学院培养的对象为工程 硕士研究生，因此必须在教材和教学内容上进行合理取舍。
目前选用的是由全国工程硕士专业学位教育指导委员会推 荐使用的《数值方法》［１］。在内容上主要选取线性代数 方程组直接求解法和迭代解法，非线性方程的数值解法，插 值法，曲线拟合，数值积分与数值微分，常微分方程初值问 题的数值解法。
１．２由实例导入新课在教学中，每章采用一个工程方 面的实际 例子来引入新课，通过实例引出相关的基本概念，通过 近似计算的思想来介绍一些基本算法的原理在对算法的分 析过程中，进行相关数值稳定性、收敛速度等方面的分析这 样的实例导入教学不仅能够激发学生的学习兴趣，让学生带 着问题学习将被动式教学转为与学生互动式教学，而且能提 高学生分析问题和解决工程实际问题的能力。下面的表格列 举了数值分析相关问题的应用实例［２］。
１．３强调算法原理和计算方法 数值分析不能像纯数学那样只研究数学本身的理论，而 是要把数学理论与计算机紧密地结合起来。针对数值分析的 特点，在讲授时既要重视基本思想、概念、方法，又要重视 它的实际应用及综合能力的培养。然而在传统的教学中，教 师只一般重视基本概念和算法的数学公式，通过繁琐的理论推导来演示算法的来由，这样学生会觉得数值分析课程太枯 燥无味，为了应付考试只能死记硬背一些公式，随着时间的 流逝，学生会逐渐淡忘曾经背过的公式，对算法的基本思想 也忘得一干二净，完全不能体会到这门课的实用性。为了能 让学生掌握这门课程的知识精华，教师一定要重视算法原理 的讲授，给学生讲清数学家是如何运用近似逼近的思想得到 一个算法的，该算法的数值稳定性如何，精度和收敛速度怎 样，为了改进原有算法的精度和收敛速度，数学家们又是如 果把原有算法进行改进，从而得到另外一个算法的。学生只 要把这些算法的基本思想、原理理解了，才能将它们牢记。
对那些过于繁琐的算法公式可以不讲理论推导，直接给出算 法的公式和ＭＡＴＬＡＢ程序，让学生知道如何用软件来求 解就可以了。比如，在讲授３次样条插值函数时，由于３次 样条函数的理论推导和计算非常繁琐，所以教师在介绍完３ 次样条插值函数的定义和各种边界条件以后，直接引入ＭＡ ＴＬＡＢ中的内置函数ｃｓａｐｅ命令，给学生演示用ｃｓ ａｐｅ命令是如何轻松完成３次样条插值函数计算的［３］。
１．４板书、课件与ＭＡＴＬＡＢ软件有机结合 数值分析课程具有“概念多、算法多、公式多、图形多、 理论推导繁琐”等特点，所以需要把板书、课件与ＭＡＴＬ ＡＢ软件结合使用。对例题、基本概念及算法的推导等内容， 若能使用课件教学，不但能提高教学的效率，而且能让学生 对所讲知识有深刻理解，例如在讲授龙格现象、曲线拟合等问题时，若能使用ＭＡＴＬＡＢ软件编程，然后通过屏幕来 直观演示必能使学生理解深刻。但是在给学生分析一些重要 算法的稳定性、收敛速度等问题的时候，为了让学生能跟上 老师的思路，教师应该用板书来推导，这样有利于学生理解 和记忆，达到理想的教学效果。数值分析中每种数值算法的 计算过程通常是非常复杂的，在传统教学中，教师为了节省 时间，基本上不会给学生演示计算的过程，推导出算法的计 算公式后只告诉学生计算的步骤。对传统的数值分析实验课 是采用计算机高级语言编程实现，但学生却往往因为一个小 的语法错误就使得程序无法继续下去，既耗费了时间也丧失 了数值实验的趣味性。在学生熟悉了算法的原理和计算公式 后，教师应该引入专门的数学软件（比如ＭＡＴＬＡＢ、ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃａ），将学生的注意力从编程过程转移 到问题解决上，不但能提高教学效率，而且能加深学生对课 程中所涉及的数学原理、方法实现的理解，为学生快速、准 确地完成复杂计算提供有效的教学手段和途径，从而提高学 生应用所学知识、方法解决实际问题的能力。教学中要给学 生演示编程的详细过程，让学生观察用ＭＡＴＬＡＢ软件解 题是多么轻松快捷，调动学生学习积极性、主动性。教师在 编程时不但要解释每行语句的含义，更要尝试用ＭＡＴＬＡ Ｂ软件自带的各种命令来编程，让学生感受到ＭＡＴＬＡＢ 软件功能的强大，学生课后通过反复编程训练，计算能力一 定能得以提高。教师在授课过程中，教师不但要把重要的算法的ＭＡＴＬＡＢ函数文件编好供学生学习参考，而且要给 学生讲授ＭＡＴＬＡＢ本身所提供的内置函数命令，同时要 把数值计算方法与内置函数作比较。例如，在讲解拉格朗日 插值的时候应该介绍ｉｎｔｅｒｐ１的使用方法；
在讲样条 插值时应介绍ｃｓａｐｅ，ｓｐｌｉｎｅ等命令；
在讲解曲 线拟合的时应该介绍ｐｏｌｙｆｉｔ，ｃｆｔｏｏｌ，ｐｏ ｌｙｔｏｏｌ，ｌｓｑｃｕｒｖｅｆｉｔ，ｌｓｑｎｏｎｌ ｉｎ等命令；
在讲矩阵三角分解应介绍ｌｕ命令；
在讲数值 积分时应介绍ｑｕａｄ，ｑｕａｄｌ，ｔｒａｐｚ等命令；
在讲微分方程数值解的时应介绍ｏｄｅ２３，ｏｄｅ４５等 命令。这些内置函数用法非常简单，学生很容易掌握。
１．５编写数值分析实验辅导书、开设数值实验课 很多高校因为学时有限而没有开设数值分析实验课，学 生会因为用手动计算太麻烦而根本不参与直接计算。久而久 之，学生会觉得数值分析课程不实用，产生厌烦情绪。因此， 开设数值分析实验课，并编写一本数值分析实验辅导书是非 常必要的。可以将实验题分为两类：必做题与选做题。从实 验类型上又可以分：基本题型和综合题型。综合题型要选用 具体工程实际问题，让学生从实际问题→建立数学模型→选 择数值计算方法→程序设计→计算出结果并分析→撰写论 文，这样的训练过程对学生将来参加数学建模竞赛和撰写学 术论文、毕业论文都有很大帮助。通过在计算机上进行数值 实验，加深了学生对数值分析的基本概念、基本方法、基本思想的理解，提高了学生的学习兴趣，提高了学生编制程序 能力、数值计算能力及使用数学解决实际问题的综合能力。
１．６同一题目，采用不同数值计算算法和ＭＡＴＬＡ Ｂ内置函数 数值分析中每个实际问题都涉及多种不同的算法，在教 学过程中教师应该把各种算法的适用条件、优缺点、数值稳 定性、收敛速度等方面给学生讲清楚，然后针对一个具体的 实际问题，采用不同的算法进行编程，然后对结果进行比较 和分析，这是培养学生数值计算能力的很好方式。例如在讲 授非线性方程求根的时候，对同一个题目可以采用二分法、 不动点迭代法、牛顿迭代法、斯蒂芬森迭代法、弦截法，以 及ＭＡＴＬＡＢ软件中的内置函数ｆｚｅｒｏ，ｆｓｏｌｖ ｅ，ｒｏｏｔｓ等来实现。
１．７编写课后习题全解、丰富习题课 目前选用的教材［１］课后习题没有详细的答案，有的 题有些难度，学生在自学的过程中存在诸多困难。为了解决 这个问题，编写了课后习题的详细答案供学生学习参考。由 于课后习题数目有限，教师可以补充一些题目供学生课后练 习。同时要多收集日常生活中常见的，学生比较感兴趣的实 际问题或者工程案例，留给学生课后自己独立完成或者小组 完成，学生通过自己的努力将问题解决后会感觉到数值分析 课程的实用性，从而激发学生学习的兴趣。
１．８建立辅导答疑制度由于数值分析课时（４０学时）非常有限，如果全靠教 师上课来讲授，同时还要在课上给学生介绍ＭＡＴＬＡＢ软 件，那么要想完成教学任务是非常难的。因此，引导学生通 过自学来扩展知识面、了解一些新的数值方法及其相关理论 是非常有益的。比如教师在讲授非线性方程求根这一章时， 二分法、不动点迭代法、埃特金加速法、斯蒂芬森迭代法、 牛顿迭代法可以由教师来讲授，至于牛顿下山法、弦截法、 抛物线法及非线性方程组求根的牛顿迭代法可以安排学生 自学，把学生分成小组进行讨论。然后，利用课后时间跟学 生进行互动讨论，把学生们不懂的地方讲解一下。同时，每 两周安排一次固定的辅导答疑时间，及时解决学生不懂的问 题。通过这种方式不但增加了师生的友谊，而且能提高学生 的学习成绩。１．９积极参与数学建模竞赛数学建模就是用 数学方法解决实际问题，数学建模过程的一般步骤为：（１） 形成问题（２）模型假设（３）模型的建立（４）模型求解 （５）模型分析（６）模型检验与修正（７）模型的应用。
在模型求解这个步骤中，经常涉及到数值分析中的各种算法， 因此数值分析课程对解决实际问题至关重要。在教学过程中， 若能通过实际案例将数学建模的思想融入到教学中，这对培 养学生解决实际问题的能力是非常有帮助的。沈阳工程学院 的研究生每年在参加全国研究生数学建模竞赛和东三省数 学建模竞赛中都取得了优异的成绩。１．１０改革考试考核 方法考核采用期末考试与平时考核相结合的方法。期末考试采用闭卷考核方式，满分１００分，考试时间１５０分钟。
试题主要考查学生对数值分析基本概念、理论、方法及其应 用的掌握程度，题型分为填空题、选择题、计算题、分析题、 程序设计题，期末考试成绩占总评成绩８０％；
平时考核成 绩占总评成绩２０％，平时考核内容有出勤情况、自学讨论 表现、作业完成情况和上机实验情况。１．１１参与导师的 科研项目电力工程与动力工程这两个专业中的许多研究问 题都涉及到数值计算方法，鼓励学生积极参与到导师的科研 项目中去，让学生承担题目科研项目中有关数值计算方面的 工作，用数值分析课上所学到的知识解决自己研究方向中存 在的问题，使学生能学以致用，体会到学习的乐趣。
２结语 本文提出了数值分析课程教学改革的思路与措施，采用 板书、多媒体课件与ＭＡＴＬＡＢ软件结合的教学手段。数 值分析课程的教学改革需要教师不断探索，在数值分析的教 学中要树立如下教学指导思想：以学生为中心，以科学计算 方法为主线，以数学软件为工具，培养学生应用数学方法求 解实际问题能力，同时在教学中加深学生对计算方法基础、 理论、应用的直观理解，加强数值分析课程建设、努力培养 学生科学计算能力。在课程教学中既要教会学生掌握成熟的 有效的计算方法，又要教会学生如何建立逼近论的思想、如 何灵活地构造新的数值算法，采取精讲多练、案例式、启发 式等教学方法，培养学生的学习兴趣和数值计算能力。参考文献：
［１］关冶，陆金甫．数值方法［Ｍ］．北京：清华大 学出版社，２０１１． ［２］陆建芳，谢聪聪，练晓鹏．数值计算基础［Ｍ］． 北京：科学出版社，２０１３． ［３］耿爱成．ＭＡＴＬＡＢ在三次样条函数教学中的 应用［Ｊ］．价值工程，２０１６，３５（４２２）：１８ １－１８２． ［４］向华，李大美．数值计算及其工程应用［Ｍ］． 北京：清华大学出版社，２０１５． ［５］邱启荣．矩阵论与数值分析：理论及其工程应用 ［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１３． ［６］万中，韩旭里．《数值分析》课程教学的新认识 及改革实践［Ｊ］．数学教育学报，２００８，１７（２）：
６５－６７． ［７］杜延松．关于《数值分析》课程教学改革研究的 综述和思考［Ｊ］．大学数学，２００７，２３（２），８ －１５． ［８］桂曙光．基于ＭＡＴＬＡＢ平台工科硕士研究生 数值分析教学实践［Ｊ］．安徽理工大学学报（社会科学版）， ２０１０，１２（３）：９０－９２．