浅谈初中数学教学中的最短路径问题
浅谈初中数学教学中的最短路径问题 摘要：中学数学中最短路径问题，生动地体现了数学 来源于生活及用数学解决现实生活问题的数学应用性。在初 中数学中有关最短路径的问题可分为点点之间的最短路径 问题、点线之间的最短路径问题以及立体图形展开图中的最 短路径问题。中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：
1009-010X（2016）18-0055-02 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之 变，日用之繁，无处不用数学。”正如前辈所说，数学与我 们的生活息息相关，数学的脚步无处不在。随着课改的深入， 数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营、建筑中的问题， 于是就出现了为省时、省力而希望寻求最短路径的数学问题。
其问题主要依据是“两点之间，线段最短”、“点到直线上 的所有线段中，垂线段最短”以及利用轴对称的性质、平面 展开图等知识来解决，特别是要用轴对称进行转换以及将空 间问题转化为平面问题来解决初中数学中的最短路径问题。
初中数学中最短路径问题，生动地体现了数学来源于生活， 并用数学解决现实生活问题的数学应用性。在初中数学中有 关最短路径的问题可分为点点之间的最短路径问题、点线之 间的最短路径问题以及立体图形展开图中的最短路径问题。
一、点与点 如图，点A到点B的最短距离为：线段AB的长度。其中的数学道理我们都知道是“两点之间线段最短”。由此也就引 出了三角形的三边关系：三角形两条边的和大于第三条边。
二、点与线 如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最 短的是PB，理由垂线段最短。
三、两点一线：分为以下两种情况 情况一：两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P， 使得PA+PB最小。
解：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求。
（其依据：两点之间线段最短.） 情况二：两点在一条直线同侧 例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、 B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距 离之和最短。【分析】只有A、P、B在一直线上时，才能使 AP+BP最小。作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连 接A′B，交“街道”于点P，则点P就是所求的点。
四、一点两线（一点在两相交直线内部） 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON 的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长 最小. 【分析】：当AB，BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小。作法：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；
连接 A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求。
五、两点两线 例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩 牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点c关于直线OA的对称点点F；
2.作点D关于直线OB的对称点点E；
3.连接EF分别交直线OA、OB于点G、H；
则CG+GH+DH最短。
六、立体图形展开图中的最短路径问题 1.在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方 形的长，圆柱的高是长方形的宽。可求出最短路程。
例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个轴截面， AB=8/π，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么最近 的路程长为____。
【分析】：我们要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的 侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。
解：将圆柱体展开，连接A、C，AC长即为所求。
2.在长方体中可将其侧面展开求出最短路程 例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木 块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为 __cm。
【分析】：将此长方体展开，在平面内，利用“两点之 间线段最短”和“勾股定理”求两点A、B间的线段长，即可 得到蚂蚁爬行的最短路径。
解：因为平面展开图不唯一，所以我们要分三种情况进 行讨论并比较大小，从而确定出最短路径。
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB =（5+4） +3 =90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB =（3+4） +5 =74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB =（3+5） +4 =80：
总之，数学来源于生活，同时数学也服务于生活。在解 决初中数学中的最短路径问题时，我们需要用数学中的“转 化思想”将生活中的问题转化为“两点之间线段最短”的问 题或运用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转 化为两定点之间的距离。我们还应注意：利用轴对称解决最 值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的 三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法。2 2 2 2 2 2 2 2 2 教育实践与研究·中学版