在关联中递进性构建数学模型
在关联中递进性构建数学模型 构建数学模型，不仅是《小学数学课程标准》的明确要 求，更是学生发展的需要。北师大版小学《数学》教材在编 写上也充分凸显了数学模型的重要性。它考虑到小学生的认 知需要经历逐步深化、提高的过程，所以将四个领域的学习 内容采用逐步拓展、渐进深化的结构，按照“ 问题情境— — 建立模型—— 解释与应用”的叙述方式进行编排。比如，由于学生对小数认识的最直接经验来自价钱，因 此在第一学段中，教材设计了“元、角、分与小数”的单元， 使学生在熟悉的情境中学习小数及其简单加减运算的初步 知识。这个单元的学习为以后小数的学习提供了一个直观、 具体的模型，是后续学习的基础。在第二学段继续学习小数 及其运算时，教材首先通过丰富的实例拓展了学生对小数的 认识；
在探索小数运算法则时，仍然可以先借助元、角、分 的模型，再拓展到身高、体重等具体模型，并最终脱离具体 模型掌握小数的运算法则。
那么，如何在相互关联的教学内容中，递进性地构建数 学模型呢？ 下面就以“ 小数意义的认识”为例，谈一谈自 己的思考。
一、拨去面纱，初见端倪——第一学段建模 北师大版小学《数学》三年级上册《文具店》，创设了 学生文具店购买文具的具体情境，借助元角分帮助学生初步 理解小数的意义。如何在初次认识小数时就借助建模的思想给学生帮助呢？笔者做了如下尝试：
师：同学们，你们在购买文具时用到的钱，单位有哪些？ 生（齐）：元、角、分。
师：请在学具袋中拿出老师为大家准备的学具，按照从 大到小的顺序摆一摆。
学生摆图：
师：观察桌上的摆图，看看会发现什么规律？ 生1：按照从大到小的顺序摆的。
生2：从左往右依次平均分成10 份，取其中的一份。
生3：从左往右，后者是前者的十分之一。
师：很会观察，也很会思考。如果将它们进行分类，可 以怎样分？ 分类的标准是什么？ 生4：100 元、10 元、1 元为一类，1 角、1分为一类。
生5：把元作单位的分为一类，角和分作单位的为一类。
生6：把等于或者大于1 元的分为一类，不够一元的分 为一类。
师：如此，我们把这些钱分成了两类（PPT 演示：在1 元 和1角之间出现一条竖线）。
左边的是1 元以上的，右边是不足1 元的。现在把这些 钱请上计数器，谁愿意来试一试？ （一名学生在PPT上操作，完成如图：
师：在计数器上如何把1元以上的和不足1元的分开？ 生1：打上一个点。师：就按你们说的办（PPT演示如下图）。这个数是多 少，请同学们在草稿本上写一写。
师：我们把像这样的数称作“ 小数”，这个点称为“ 小 数点”。你们在什么地方见过这样的小数呢？ 生2：商品的价钱。
生3：赛跑成绩。
生4：体重。
生5：眼睛的视力。
生6：体温。
师：同学们的生活经验很丰富。（手指大屏幕）再看看 这个小数，小数点将小数分成了几部分？每一部分可以怎样 命名？ 生1：两部分。左边的是整数，右边的……（学生遇到 了困难） 生2：右边的不足1元，是不是就应该是小数？ 师：是啊，小数点将小数分成了左右两部分，左边的是 整数部分，右边的是小数部分（边说边用PPT出示下图）。
师：小数点右边第一位上的“1”表示什么？ 生1：表示把1元平均分成10份，其中的1份是1角。
师：如果小数点右边第一位上的数是“5”，它又表示 什么？ 生2：表示把1 元平均分成10 份，一份是1 角，5 份就 是5角。师：小数点右边第二位上的“1”表示什么？ 生3：表示把1角平均分成10份，其中的1份是1分。
生4：因为1 元＝100 分，所以我认为也可以表示把1 元 平均分成100份，取其中的1份，也就是1分。
师：同学们，让我们把热烈的掌声送给他，他特别善于 开动脑筋。现在计数器上表示的是多少钱？ 生（齐）：一百一十一元一角一分。
师：同学们很能干。请你随意在草稿本上写出一个小数， 考考你的同桌，让他说说小数部分每一个数位上的数表示什 么，如果以“元”作单位，表示多少钱。
…… 数学模型的构建过程，实际上就是“数学化”的过程。
在实际操作中，借助摆一摆、找一找、分一分，发现小数相 邻两个计数单位的十进制关系。通过计数器模型，直观感受 小数的组成，理解小数点右边数位上的数表示的意义，依靠 模型的意义解决生活中的实际问题。在这个建模思想的渗透 过程中，由生活中的具体实例开始，借助操作予以内化和强 化，最后通过阐述和思维发散加以扩展和推广，赋予了小数 深刻的模型意义。
WWw.dYLw 二、曲径通幽，再探究竟——第二学段建模 在三年级借助元、角、分现实背景初步认识小数的基础 上，第二学段对于小数的认识，主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示 百分之几，三位小数表示千分之几……教材中学习内容的编 排是层层递进的：通过生活中的元、角、分素材，认识小数 与十进分数的关系，再抽象到一般意义上的小数与十进分数 的关系，最后让学生带着对小数意义的认识回归生活，进一 步体会小数的意义。如何体现这次建模与第一学段建模的关 联性，并在第一学段建模的基础上，递进性地帮助学生深入 理解小数的意义呢？教学片段如下：
师：同学们，0.1元是多少钱？为什么？ 生1：0.1元是1角。因为将1元钱平均分成10份，1份是1 角。
师（出示图1）：如果用这样的一个长方形表示1 元， 你能把它分一分、涂一涂，将0.1元表示出来吗？ （学生拿出学具纸画画涂涂，最终得到图2。） 师：谁来介绍一下自己的做法？ 生1：我先把这个长方形平均分成10份，然后选取其中 的一份涂色。
师：涂色的一份是不是0.1？ （学生点头。） 师：用分数如何表示？为什么？ 生1：十分之一。因为选取的这一份是长方形的十分之 一。
师：这个长方形除了可以表示1元，还可以表示什么？生1：10元。
生2：4个苹果。
生3：一袋米。
生4：一包糖。
师：同学们很会思考。生活中的物品，不管它有多少， 是一个，还是多个，都可以用这个长方形来表示。那0.1 除了可以表示钱以外，还可以表示什么？ 生2：可以表示长度，0.1米。
师：0.1米是多长？为什么？ 生2：0.1米是1分米。因为把1 米平均分成10 份，每一份是1分米。
师：还可以表示什么？ 生3：0.1摄氏度。
师：0.1摄氏度是怎样得到的？ 生3：把1摄氏度平均分成10份，取其中的一份。
师：还可以表示什么？又是怎样得到的？ 生4：0.1千克。是把1千克平均分成10 份，取其中的一份。
生5：0.1平方米。把1平方米平均分成10份，取其中的 一份。
师：如果我们把长方形表示的物品用“1”来表示，0.9 是怎么得到的？用分数怎样表示？生1：0.9表示把“1”平均分成10 份，取其中的9 份。
用分数表示是十分之九。
师：下面请同桌两人一组，互相说一个像0.1、0.9这样 的小数，让对方说说这个小数是怎么得到的，以及用分数表 示是多少。
（学生两人一组开始活动。） 师：同学们说得这么热烈，我也来凑凑热闹（板书：1.3）。
如果还是用一个长方形表示“1”，怎样才能表示出1.3 呢？ 请同学们在学具纸上涂一涂、画一画。
（学生独立在学具纸上操作。） 师：谁来分享一下自己的做法？ 生1：我画了两个长方形，第一个全部涂成黑色。第二 个平均分成10份，只涂其中的3份。（教师将其展示如图3。） 师：为什么要这么做？ 生1：因为1.3 里面已经有了一个1，就要先选一个长方 形，剩下的0.3就要把第二个长方形平均分成10份，选取其 中的3份。
师：如果一个练习本2.6元，又该如何用图来表示呢？ 生1：先画两个长方形，全部涂成颜色。再把第三个平 均分成10份，涂出其中的6份。
师：好，就像这样，同桌两人一组，其中一人说一个小 数，另一人说如何用图表示，开始。
……上述教学过程将抽象的数与生活实际相连，给予发散拓 展，紧紧围绕知识间的联系（小数与十进分数的关系）展开。
在学生大胆的尝试与摸索中，借助于直观图形的形象支撑， 建立起了一位小数的“直观模型”——将长方形平均分成10 份，选取其中的几份。这种形象的“直观模型”架起了小数 和分数之间的桥梁，很好地承担起了“种子知识点”的任务， 为后面两位小数、三位小数的学习起到了引领作用。
这两个教学案例告诉我们，运用建模思想来指导小学数 学教学，有利于学生从生活经验和客观事实出发，在研究具 体问题的过程中学习、理解和应用数学。这为学生提供了大 量观察、操作、实验、思考与交流的机会，有利于学生掌握 数学知识的内涵，学会数学地思考，提高解决问题的能力， 获得良好的情感体验。但是对学生“模型意识”的培养和“建 模方法”的指导，不仅要根据具体内容和学习对象而有不同 的要求，更要准确把握教材，充分考虑到学习内容之间的联 系、延伸与拓展，有的放矢地做到有层次地、递进性地培养 学生的建模能力，逐步渗透模型思想。