模型出入有门路以鸡兔同笼问题教学为例
模型出入有门路以鸡兔同笼问题教学为例 模型思想是数学研究与学习中基本的数学思想之一。广 义而论，数学的法则、定律、公式、规律均可视作数学模型。狭义来看，在小学数学教材中，鸡兔同笼、植树问题、找次 品、鸽巢问题作为数学模型教学的四个专题被编入数学广角 （共计10 个专题），占比近半，足见模型思想的重要性。
模型教学涉及两个核心要素，“建”与“用”，建模是 关键，是基础；
用模是重点，是归宿。建模的质量直接影响 用模的水平，建得自主，建得积极，则用得自如，用得灵活。
如果把“模型”当作“模具”交给学生，那么学生只会是照 葫芦画瓢，生搬硬套，不可能实现真正意义上的用模。如何 实现模型的有效建构，让模型来时有门，去时有路呢？下面 笔者结合“鸡兔同笼问题”的教学实践谈谈自己的一些体会。
一、找准起点，积累经验 建立数学模型和解决其他数学 问题一样，需要经过一 系列具体或抽象的操作与思维活动，这些活动的展开同样需 要以学生已有的生活和知识经验为起点，层层深入，不断积 累建立模型所需要的完整活动经验。
以“ 鸡兔同笼问题”为例：鸡兔共有8只，脚共有26只， 问鸡兔各几只？ 列表与假设是解决这类问题常用的两种方法，教学中往 往呈现这样的景象：依序列表时，学生得心应手，轻松自如， 但到了研究假设法时，多数学生理解困难，有的更是一脸茫然。
究其原因，是因为教学中我们往往将列表与假设割裂， 没有认识到列表过程中同样蕴含着假设。
如何破局？ 细作分析，无论是列表法，还是假设法， 都遵循“ 假设——计算—— 推理—— 调整”的解决策略 与程序，如果在列表过程中让学生直觉感悟到这样的思维过 程，就会为后面抽象的说理做好准备，降低学生理解的难度。
具体做法是：
当学生利用上表找到答案后，教师应及时引导学生对表 中的数据加以分析：第一组数据是先假设8 只全部是鸡，然 后计算出只有16 只脚，与实际26只不符，需要对假设做出 调整；
接着重新假设有7只鸡，1只兔，计算出共有18只脚， 仍然与实际26 只不符；
依次下去，直至鸡3 只，兔5 只时， 脚正好26只。最后非常关键且重要的一点，教师要有意识地 引导学生反思这一过程中的基本程序与思路，即“假设—— 计算—— 推理—— 调整”，当学生有了充分的感知之后， 就为后面理解假设法积累了相关经验。
二、抓住重点，主动建模 有了上面的基本策略与路径之后，如何让学生深层理解 作出假设之后题中存在的数量关系，如何用算式表示出它们 之间的关系，就成了接下来的教学重点，因为这是学生实现 主动构建模型的关键所在。
请看下面的教学片断：师（出示表1）：刚才同学们从全是鸡，或全是兔开始 列表尝试，现在老师又是怎样想的呢？你能接着想下去吗？ 生1：先假设鸡兔各有4 只，可以计算出这时脚共有24 只， 只要增加1 只兔，减少1只鸡，就可增加2只脚。所以鸡有3 只，兔有5只。
师：你怎么知道调整时要增加1 只兔，减少1只鸡的？ 生1：因为算出的脚数24 只比实际26 只少2 只，1 只 兔比一只鸡就多出了2只脚。
师（出示表2）：现在你能看懂表中的数据和想法吗？ 你能接着往下找到答案吗？ WWw.dYLw 生2：先假设有6 只鸡，2 只兔，通过计算6×2+2×4=20， 比题中26 只脚少了6 只，列式为26-20=6，调整时需要增加 3只兔，减少3只鸡。
师：为什么要增加3只兔，减少3只鸡，能说得明白点吗？ 或者用个式子表示出来？ 生2：1只鸡与1只兔相差2只脚，现在共相差6 只脚，就 是算6 里面有几个2，算式是6÷（4-2）=3。
师（出示表3）：现在呢？你能不能像刚才大家分享的 一样，用算式表示出2，列式为10÷（4-2）=5。
在上面的教学片断中，通过三组数据，遵循“ 假设— — 计算—— 推理——调整”这一过程，引导学生由近及远， 由特殊到一般逐步抽象出解决鸡兔同笼问题的数学模型。三、紧盯难点，灵活用模 用模是研模、建模的最终目的，体现了模型的现实意义 与应用价值，是模型教学中的重要环节。用模能力的高低取 决于建模的质量和学生的识模能力，学生能否将现实情境中 的具体信息逐一与模型中的量联系起来，建立对应关系，实 现从问题到模型的抽象，这是用模阶段的一大难点，教学中 应设法突破。
在“ 鸡兔同笼问题”模型的应用环节，笔者设计了以 下三个层次的识模体验：①基础性识模，龟鹤同游，从上数， 共有40 个头，从下数，有112 条腿。龟、鹤各有几只？② 游戏化识模：（课件演示）这是一个信封，里面装了5元和2 元的纸币，共7 张。你能猜猜信封里一共有多少钱吗？让学 生在猜的过程中感悟不少于14 元，不多于35元。之后再补 充信息“ 共有29 元”，现在你能知道5 元、2 元纸币各有 多少张吗？ ③生活化识模：师生共38 人去划船，共租了8 条 船，恰好坐满，每条大船坐6 人，每条小船坐4 人，大船和 小船各租了几条？ 在每一轮的练习中，笔者会让学生思 考：它们与今天研究的“ 鸡兔同笼问题”有联系吗？ 如果 有，是怎样的联系？ 以此训练学生的识模能力，提高应用 水平。
建模与用模组成了模型教学的两条腿，只有建模时有 “门”，才能做到用模时有“路”。思维过程呢？ （学生独立思考后展示交流。）生3：假设全为鸡，共有8×2=16 只脚，少了10 只脚， 调整时需要增加5 只兔，减少5 只鸡，就是算10 里面有几 个