高职高专几种求极限方法的常见问题分析
高职高专几种求极限方法的常见问题分析 极限的概念以及极限的求法贯穿高等数学的始终，所以 掌握极限的求法是该门课程的基本要求，求极限的方法有多 种，本文主要针对利用极限的四则运算求极限，利用两个重 要极限求极限，利用等价无穷小求极限以及利用罗比达法则 求极限中经常遇到的问题进行分析，通过对典型题的分析加 强对这几种方法的掌握。摘 要：
极限 方法 错误问题分析 1. 利用极限的四则运算法则求极限 例：求（1） （2） (3) 错误解答：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 错误分析：在极限存在的前提下（商的极限还要加上一 个条件分母极限不等于0）才能使用极限的四则运算，而（1）， （是极限不存在的一种情况）(2) ，不存在，(3) 分母极限， 故都不能用极限的四则运算。
正确解答：（1）先求，根据无穷大与无穷小的关系得 原式= （2）因为，，根据无穷小与有界函数的乘积仍 是无穷小，得原式=0 （3）先求，根据无穷大与无穷小的关系得原式=例：求 错误解答：原式= 错误分析：使用极限的四则运算法则时，和(或差)的极 限等于极限的和（或差），只适用于有限项，而本题中随着， 和式中的项数也无限的增多，所以不能用该法则。
正确解答：原式= 2. 利用两个重要极限求极限 （1） 第一个重要极限 例：求（1） （2） 错误解答：（1）=1 （2） 错误分析：在使用第一个重要极限时 ，注意看清自变 量的变化趋势，判别在该趋势下，中的是否趋于0，若是才 有，而（1）中自变量是趋近于，而不是趋于0，故不能使用 第一个重要极限。(2) ,当时，，故也不能使用第一个重要 极限。
正确解答：（1）原式=，由于，，根据无穷小与有界函 数的乘积仍是无穷小，得原式=0 （2）的做法前面有介绍，不在赘述。
（2）第二个重要极限 例：
错误解答：由于，，且1的任何次方都等于1，故原式=1. 错误分析：常数1的任何次方都是1，这是正确的，但在型极限中的1不是指的是常数1 ，而是变量的极限是1，故不 等于1. 正确解答：原式= 3. 利用等价无穷小求极限 例：
错误解答：原式= 错误分析：等价无穷小求极限时，乘积因子可以用等价 无穷小进行代换后再求极限，而对于和或差中的某一项不一 定能用等价无穷小进行代换，要具体问题具体分析。中的不 能 用等价无穷小来代替，因为与不等价（，虽然中的能用 等价无穷小代换，因为与等价（。
正确解答：原式= 4. 利用洛比达法则求极限 例：
错误解法：原式= 错误分析：每次使用洛比达时要检查是否是或时，否则 不能用洛比达法则，而不是或，所以不能再用洛比达法则。
正确解法：原式= 例：
错误解法：原式=不存在 错误分析：洛比达法则的条件是充分的，而不是必要的， 即当不存在也不等于时，洛比达法则失效，故必考虑用其他方法解决。
正确解法：原式= 通过以上的分析，使读者走出利用这几种方法求极限 的误区，以达到准确应用这几种方法的目的。
参考文献：
《高等数学典型题目与问题分析》西北工业大学数学教 研室 著 同济大学出版社 《高等数学》盛祥耀主编 高等教育出版社 2003年1 月第2版