高中生数学素养的操作定义
高中生数学素养的操作定义 摘要：对高中生数学素养的测评将护航新一轮高中数学课程改革。参 照PISA测试以及我国台湾数学素养的测评维度，在征求多名教育测评专家意见 的基础上，针对我国高中生的特点，初步建构了数学素养的操作定义。高中生数 学素养是对数学内容的融通素养(数学内容维度)，是将现实问题转化为数学问题 的建模素养(现实情境维度)，是用数学的眼光看世界、数学的思维分析世界、数 学的语言诠释世界的数学能力素养(数学过程维度)。关键词：数学素养；
操作定义；
试题编制；
高中生；
作者简介：王光明，1969年生，天津人，天津师范大学教授，天津师 范大学、东北师范大学、西南大学博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究；
《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》指出， 研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准，是深化课程改革的重要举措。
[1]对各学科具体核心素养体系的研究，将指引高中教育准确把握当今人才培养 方向，引导考试评价更加准确反映当下人才培养的要求。新一轮高中数学课程改 革已经启动，为了保证其顺利实施，如何测评高中生数学素养的问题已刻不容缓。
早在1923年，P.W.Bridgman就提出：一个概念的真正定义不能用属性， 而只能用实际操作来给出。1971年，该观点被美国《科学》杂志列为世界五大哲 学成就之一。操作定义，是根据可观察、可测量、可操作的特征来界定变量含义 的方法。为了测量高中生数学素养，就需要给出高中生数学素养这一抽象概念的 操作定义。
在我国，关于数学素养类型或者属性的研究较多。许多研究指出，数 学素养可以分为不同类型，说明数学素养具有综合性特征。譬如，孔企平认为， 数学素养是指逻辑思维、常规数学方法、数学应用。[2]张奠宙认为，数学素质 就是数学思维能力，亦即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则 是逻辑思维能力。[3]桂德怀、徐斌艳认为，数学素养是数学情感态度价值观、 数学知识、数学能力的综合体现。[4]何小亚认为，数学素养是指满足学生自身 发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态 度价值观的综合体，其构成要素包括数学运算、数学推理、数学意识、数学思想 方法和数学情感态度价值观。[5]黄友初将数学素养归纳为数学素养的成分说、 后天训练说、实践内化说和生活说四种类型。[6]也有研究者直接指出数学素养具有综合性，例如，马云鹏认为，数学核心素养具有综合性、阶段性和持久性的 特征。[7]这些研究均间接或者直接指出了数学素养具有综合性的特征，但尚未 给出数学素养的操作定义，在数学素养包含哪些维度、要素方面仍有分歧，且关 于数学素养的层级研究尚不深入。
厘清数学素养所包含的维度，对于给出数学素养的操作定义有重要作 用。2000年，国际经济合作与发展组织(OECD)开展了国际学生评价项目PISA， 此后每三年举行一次。PISA2003首次将数学作为主要领域，并将数学素养作为 可测评的变量。PISA2012认为，数学素养是指个体能够在不同情境中运用和解 释数学的能力。它从数学情境、内容领域和数学过程三个维度出发，细化出二级 指标，构建了数学素养模型，并基于此编制数学素养测试题目，给出了测试分析 的框架。[8]林福来率领的“数学素养测评团队”基于认知视角，也将情境、内容、 过程三个要素作为数学素养测评的一级维度，同时对每个维度给出二级指标，进 一步明确了学生解决问题过程的水平划分，研制开发了“台湾2011数学素养评量 样本试题”(以下简称“台湾评量”)[9]。这对高中生数学素养的操作定义具有如下 启示：数学素养的定义中既要包括二级指标的确定，还要涵盖解决问题水平的划 分。
PISA测试对象是15岁学生，“台湾评量”测试对象是初中生。如何给出 适合我国大陆高中生数学素养测评的二级指标？二级指标的操作定义是什么？ 解决问题的水平如何划分？这些均是研究高中生数学素养的操作定义要解决的 问题。本文从认知视角研究高中生数学素养的操作定义。
一、高中生数学素养操作定义的构建 (一)测评维度的确定 我们就高中生数学素养操作定义的主体维度向数学教育测评专家进 行了意见征询，所访专家包括：加拿大多伦多大学McDougall教授，澳大利亚墨 尔本大学DavidClarke教授，中国台湾数学素养测试负责人林福来教授，中国上海 PISA测试负责人张民选教授，PISA项目专家顾问团成员HuLinmin教授，加州大 学伯克利分校AlanSchoenfeld教授。六位专家均认为，考查高中生数学素养可以 借鉴PISA的测评维度，所以我们参照PISA及“台湾评量”的测评维度，选取现实 情境、数学内容、数学过程三个维度作为高中生数学素养操作定义的一级维度。
(二)二级指标及其描述关于二级指标及其描述，专家建议：内容维度的二级指标要考虑高中 特点，情境维度以及过程维度的二级指标可以参考PISA以及“台湾评量”；
二级指 标的描述要尽量体现本土特色与高中数学特点。所以在数学内容方面，删除了 PISA测试中“数量”的内容；
在现实情境方面，主要选取我国高中生所熟悉的实际 情境；
在数学过程方面，具体内涵更加注重高中知识的特点。
最终确定了数学素养操作定义的结构(见图1)及指标描述(见表1)。其 中现实情境分为四个子维度：个人情境、职业情境、社会情境、科学情境；
数学 内容主要分为三个子维度：数与代数、空间与图形、概率与统计；
数学过程分为 三个子维度：数学表达、数学运用、数学阐释。
(三)学生数学素养测评的水平划分 学生数学素养测评的水平划分也是高中生数学素养操作定义的重要 构成。专家认为，可以依据SOLO分类评价理论，对学生数学素养测评的水平进 行划分。具体水平划分见表2。
二、高中生数学素养操作定义的检验 我们依据数学素养操作定义的结构和二级指标描述(图1、表1)以及学 生数学素养测评水平划分(表2)，设计测试题并实施测评，以检验高中生数学素 养操作定义的科学性。
(一)测试题设计 为了使测试题更加切合数学素养的操作定义(图1、表1、表2)，我们 基于“台湾评量”测试题，从凸显高中特点与本土特征两个方面综合考虑，对试题 进行改编与设计。按照内容板块，分为数与代数、空间与图形、概率与统计三个 小组；
每个小组分别从个人情境、职业情境、社会情境、科学情境四个方面进行 改编或设计。题目改编与设计基于图1与表1的要求，内容上需与高中生所学数学 知识相匹配，情境表述需符合学生的生活习惯。随后邀请五位经验丰富的数学教 师对题目进行筛选，最终形成十道测试题，试题结构见表3。
(二)测试题施测 1.样本选取通过分层抽样法，选取天津市两所高中(重点、普通各一所)三个层次 班级(实验班、普通班、择校班)的高二学生，共150名。
2.数据收集与处理 本次测试共发放测试卷150份，回收有效测试卷135份。测试卷回收后， 依据表2给出的各水平表现形式和计分原则，对学生的作答情况进行水平划分。
依据表2的编码及计分标准，两组人员分别独立地对135份测试卷进行评定，然后 从一组中随机抽取1/3与另一组比对。比对发现，两组人员在计分上基本一致， 然后对极个别争议计分进行团队讨论，最终达成一致编码。
(三)测试题的信度与效度 1.信度分析 本问卷Cronbach’sα系数为0.736，说明问卷的内部一致性信度较好。
2.效度分析 采用专家评分的方式来检验测试题的内容效度。
我们就《高中生数学素养测评问卷》中的各题是否符合“数学素养的 操作定义”(表1)和“题目测试意图”(表3)，对多位知名教授与博士生进行了意见征 询。问卷各题得分率见表4。
《高中生数学素养测评问卷》中各题的得分率均在0.8至0.97之间，表 明该工具具有良好的内容效度。
三、讨论、结论与建议 (一)讨论 在参照PISA测试以及“台湾评量”的基础上，我们结合国内外教育测评 专家的意见，构建了高中生数学素养的操作定义，并进行了试题检验。其中数学 素养操作定义一级维度与PISA数学素养测试和“台湾评量”是一致的，但在各维度 的二级指标及其描述上有所改进。在数学内容维度中，合并了PISA中“数量”和“变 化与关系”类知识，统称为“数与代数”。在现实情境维度的二级指标选择上，选 用了更加贴近我国大陆学生生活实际的个人、职业、社会、科学情境。为了使数学素养操作定义更好地指导高中生数学素养的测评，进一步 提高数学素养测评的可操作性，特别给出了学生数学素养测评的水平划分依据 (表2)。考虑到测试内容包括数与代数、空间与图形、概率与统计三个数学领域 的内容，所以选取数学认知领域普适性较强的SOLO理论作为水平划分依据，对 每一解答设置五个水平，根据学生对数学素养测试题的具体作答情况，依据水平 划分给予评分。
基于SOLO理论的数学素养水平划分，较PISA测试编码和传统数学测 试题评分更加聚焦学生的认知水平划分。它不再局限于对某一题目应具备的知识 情况进行评定，而是对从该题目作答过程中反映出的学生认知思维水平进行评定， 适用于综合性较强的数学素养水平划分。此外，基于SOLO理论框架进行数学素 养水平划分，使得评定标准更具有理论依据，对各题目的给分标准更一致，从而 提高了评定的客观性。
(二)结论 数学素养的操作定义包括两部分。一部分是数学素养的构成框架及具 体表述(图1、表1)，我们从现实情境、数学内容、数学过程三个维度来刻画高中 生数学素养，并给出了二级指标及其具体描述；
另一部分是基于SOLO分类理论 设计的数学素养测评水平划分(表2)。这两部分给出了数学素养的概念结构剖析 和测评分析方法，使数学素养这一综合性概念具有可操作性，并可用以指导高中 生数学素养测试题的编制。
(三)建议 指向终身发展，建构跨学科能力，是世界基础教育发展的趋向之一。
《高中数学课程标准修订(征求意见稿)》将数学抽象、逻辑推理、数学建模、运 算能力、直观想象和数据分析作为数学核心素养的构成。如何让这些彰显着数学 学科特征但却抽象的素养显性化，图1和表1、表2的内容可作为工具。高中生数 学素养是数学内容的融通素养(数学内容维度)，是将现实问题转化为数学问题的 建模素养(现实情境维度)，是用数学的眼光看世界、数学的思维分析世界、数学 的语言诠释世界的数学能力素养(数学过程维度)。有了高中生数学素养的操作定 义，就打开了开发高中生数学素养测试题之门。基于考试与评价直接影响着课程 改革，在新一轮聚焦数学素养的高中数学课程标准即将颁布之际，高中生数学素 养的测评题库开发，应该同步(甚至超前)进行。我国台湾地区在林福来的领导下，180位教师和25位教授协同参与台湾初中生数学素养测试题开发。基于教育“管办 评”分离的背景，有关部门或者高校或者研究机构，应该组建团队，协同进行高 中生数学素养测试题的开发。
此外，数学素养作为一个综合性的概念，不是几个核心概念的简单叠 加，其内涵包括了比基础知识、基本技能、问题解决以及方法层面等更高级形态 的内容。具体到数学学科中，这部分内容包括学生对数学本质的理解、对数学概 念结构的把握、对数学学习的态度和信念、对数学精神与思想和方法的领悟、对 数学思维的掌握与运用等，这些内容并非仅仅通过纸笔测验可以评价的，需要通 过出声思维、深度访谈、撰写研究报告及论文等方式进行综合评价。