数学直觉思维特征及锻炼
数学直觉思维特征及锻炼 数学直觉思维特征及锻炼范文 现代数学教育不仅是传授数学知识,更重要的是培养学 生的创新意识。因此,目前在数学思维活动中,人们非常注重 非逻辑思维(形象思维、直觉思维、数学美感等)的培养,特 别是直觉思维能力的培养,因为它具有鲜明的灵活性与创造 性,常常成为提出数学新思想、创立新理论的重要前提,是数 学创造的另一个重要因素。对于数学直觉的探讨和培养,有 助于充分发挥学生的主体作用,提高其创造力、观察力、直 觉力、想象力。1数学直觉思维的概念 数学直觉思维就是人脑对数学及其结构关系的一种迅 速的判断与敏锐的想象,是直觉想象和直觉判断的统一。这 种想象和判断没有严格的逻辑依据,也没有经过明显的中间 推理过程,思维者对其过程也无清晰的意识。
2直觉思维的主要特点 2.1简约性 直觉思维是对思维对象通过丰富的想象作出的敏锐而 迅速的假设、猜想或判断,它省去了推理的中间环节,采取 “跳跃式”形式,往往出现在长久沉思后的突然“醒悟”,具 有下意识性和偶然性,没有明显的根据和思索的步骤,而是 直接把握事物的整体,洞察问题实质,跳跃式地迅速指出结 论,而思维怎样出现的过程陈述不出来。它是一瞬间的思维火花,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但却 清晰的触及到事物的“本质”。
2.2创造性 现代社会需要创造性的人才,但我国的教材由于长期以 来借鉴国外的经验,过多的注重培养逻辑思维,所以培养的 人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开 拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于 细节的推敲,是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性,它 的想象才是丰富的、发散的,使人的认知结构向外无限扩展, 因而具有反常规律的独创性。伊思•斯图加特说:“直觉是 真正的数学家赖以生存的东西,许多重大的发现都是基于直 觉”。欧几里得几何学的5个公式都是基于直觉,从而建立起 欧几里得几何学这栋辉煌的大厦;哈密顿在散步的路上激发 了构造四元素的火花;阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真 假的方法;凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的 成功典范。
2.3随机性 随机性,也称偶然性,即在数学活动中,数学直觉思维受 什么启迪而一触迸发,且数学念头来去又那么“短暂”,令人 难以寻觅,无论是产生还是其结果都带有很大的偶然性,数 学直觉的产生从开始到结束,是在解题者对所给问题有意识 地进行思索,发散式地提供与该问题相近的信息,调动脑中 的对此问题有用的信息而打开思维的大门,获得数学直觉。所以启发数学直觉的信息,从时间、地点、条件、机缘来看, 都表现出某种随机性。
3数学直觉思维在解决问题中的作用 数学直觉思维在问题解决中有着重要的作用,许多数学 问题都是先从数与形的直觉感知中得到某种猜想,然后再进 行逻辑证明的。法国数字家庞加勒曾指出,“逻辑是证明的 工具,直觉是发明的工具。”数学直觉思维的运用有助于提 出数学新概念、新理论和新的数学思想,特别是当逻辑思维 方法无能为力时,常常靠直觉来洞察本质直达核心。多年的 数学教学实践表明,直觉思维起着不可忽视的作用,主要表 现在以下几方面: 3.1有利于加强对概念的理解和洞察力 在学习异面直线时,学生易把分别在两个不同平面内的 直线,错误地认为是异面直线,这就是由于缺乏对概念的本 质属性的直觉洞察力与判断力所致,若加强对学生的直觉思 维训练,此类错误就能避免。
3.2有利于引导学生的判断和想象能力 一个成功的数学证明是许多基本运算或“演绎推理元 素”的成功组合,逻辑可以帮助到达目的地,但是逻辑却不能 告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一 条通道。这就需要引导学生必要的直觉判断和想象力,将积 存在大脑里的思维元素充分调动、组合、变换,迅速地作出 决策。3.3有利于快速搜索数学解题路径 直觉的形成离不开思维的迅速概括与高度浓缩,因此解 题中直觉思维的形成常常是多种逻辑思维方法的综合转换、 反复应用、高度压缩产生质变的结果。例如:设单位正方形 内有任意的五个点,试证明其中至少存在两个点,它们之间 的距离不大于(1/2)0.5。解本题的关键是用抽屉原则,把此 问题与抽屉联系起来,这个过程要借助直觉来判断。
3.4有助于培养学生的自信力 学生对数学产生兴趣的原因有2种:一是教师的人格魅 力,二是来自数学本身的魅力。成功可以培养一个人的自信, 直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和 情感激励,这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过 逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得,那么成功带给他 的震撼是巨大的,内心将会产生一种强大的学习钻研动力, 从而更加相信自己的能力。
高斯在小学时就能解决问题“1+2+……+99+100=?”,这 是基于他对数学的敏感性的超常把握,这对他一生的成功产 生了不可磨灭的影响。而现在的中学生极少具有直觉意识, 对有限的直觉也半信半疑,不能从整体上驾驭问题,也就无 法形成自信。
4数学直觉思维的培养 4.1扎实的基础是产生直觉的源泉 直觉不是靠“机遇”,直觉的获得虽然具有偶然性,但决不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础。若没 有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花。阿提雅说:“一旦 你真正感到弄懂一样东西,而且你通过大量例子以及通过与 其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验,对此 你就会产生一种正在发展的过程是怎么回事以及什么结论 应该是正确的直觉”。
4.2加强哲学及审美观念是培养的关键 直觉的产生基于对研究对象整体的把握,而哲学观点有 利于很好的把握事物的本质。包括数学中普遍存在的对立统 一、运动变化、相互转化、对称性等。例如(a+b)2=a2+2ab+b2, 即使没有学过完全平方公式,也可以运用对称的观点判断结 论的真伪。美感和美的意识是数学直觉的本质,提高审美能 力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的 直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力也越强。狄拉克 1931年从数学对称的角度考虑,大胆的提出了反物质的假说, 他认为真空中的反电子就是正电子,他还对麦克斯韦方程组 提出质疑,他曾经说,如果一个物理方程在数学上看上去不 美,那么这个方程的正确性是可疑的。
4.3对学生进行预测、猜测的训练是培养的重要形式 教师应在数学的概念、定理的结论推断中,尝试着让学 生进行非逻辑的直接预测、猜测,从而渐渐提高学生的直觉 思维能力。教师应把直觉思维在课堂教学中明确提出,制定 相应的活动策略,分析问题的特征,渗透直觉观念,发展思维能力。重视直觉思维的解题研究,选择适当的题目类型,诸如 换元、数形结合、归纳猜想、反证法等,有利于培养、考察 学生的直觉思维。再如选择题,由于只要求从四个选择项中 挑选出来,省略解题过程,容许合理的猜想,有利于直觉思维 的发展。
4.4设置直觉思维的意境和动机诱导 对于学生的大胆设想给予充分肯定,对其合理成分及时 给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,以免挫伤学生 直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势 利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功 的喜悦感。“跟着感觉走”是一句时尚用语,其实这句话里 已蕴涵着直觉思维的萌芽,只不过没有把它上升为一种思维 观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的 提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征;重视 数学思维方法的教学。