数学的哲学理论与数学教学
数学的哲学理论与数学教学 数学是伟大的无产阶级革命导师马克思、恩格斯生前十分喜爱的科学。马克思晚年从事数学研究达20多年之久，写过很有价值的数学 恩格斯指出全部哲学，特别是近代哲学的重大的基本问题，是思维和 存在的关系问题。”数学是研究数贷关系和空间形式的科学，数和形是数学研究 的基本对象。唯物论和唯心论反映在数学上的分歧和斗争就在于，数和形是客观 存在的，还是主观臆造的？数学来源于现实世界，还是与现实世界无关的“自由 创造物和想象物”？在唯心论者看来，“数是上帝创造的”，“数是万物之本原”， 数学不过是“感觉的集合”、“纯粹心智的创造”、“纯理性思维的产物”等等。按照 他们的观点，数学仿佛是独立于客观物质世界的某个思维王国中的自由乐园。尽 管他们之间的意见观点也有很大分歧，但不_过是对修建这块自由乐园各有不同 的主张与行动规划而已，唯心论则是他们共同的思想渊源。
思格斯研究了数学与客观物质世界的关系问题。他在肯定了“纯数学 具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义”的同时，又明确指出：“在纯数学中 悟性绝对不能只处理自动的创造物和想象物。数和形的概念不是从其它任何地方, 而是从现实世界中得来的。人们曾用来计数，从而用来作第一次算术运算的十个 指头，可以是任何别的东西，但是总不能是悟性的自由创造物。……形的概念也 完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存 在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学 的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料。” 抽象的逻辑思维是数学研究的主要思维形式。因此，抽象表现为数学 这门科学的最基本的特征。唯心主义者则常以此k确切的例证，歪曲抽象的逻辑 思维在数学中的地位和作用，作为反对唯物主义的工具。他们认为数学是从一些 先验的概念和公理出发，单纯用逻辑的方法推演出来的，因此与现实世界是风马 牛不相及的。恩格斯深刻地分析了抽象思维在数学中的作用,指出这是“一种在考 察对象时撇对象的其它一切特性而仅仅顾及到数目的能力。而这种能力是长期的 以经验为依据的历史发展为结果。”数学中的“这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”从现实世界中抽象出来的数学 规律，“在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并.目.怍为某种独立的东西，作 为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立。”客观世界中虽然并不存在 没有长宽高的抽象的点，没有厚度和宽度的抽象的线，没有厚度的抽象的面，但 其原形极其广泛地存在于客观世界中，建立在这些抽象化了的概念基础上的欧氏 几何学是客观世界中空间形式规律性的反映，客观外界是它产生和完善的根源。
牛顿、莱布尼兹发明的微积分是数学发展史乃至整个自然科学发展史 上的®要里程碑。恩格斯热情地称赞：”在一切理论成就中，未必再有什么象17 世纪下半叶微积分的发明那样枝看作人类精神的最高胜利了。”伯是在世纪下半 叶和整个18世纪，微积分理论却建立在含糊不清的无穷小概念上，牛顿为避免无 穷小把导数当作^和叉消朱了的增量比，即rfF和(OT之比。1別纪英国爱尔兰大主 教贝克莱激烈攻击微积分，说这些变化率“只不过是消失了的量的鬼魂。”抽象的 微积分是“量的鬼魂”，还是对现实世界客观规律性的认识？马克思深入地研究了 微分学中的无穷小概念和流数概念，指出求导数的“流数法”是人们“纯粹实验地 发现的”，“全部微分学本来就产生于求任意一条肋线上任何一点的切线的问 题。”©恩格斯也指出：人们还在设想，微积分是“人类精神的纯粹的自由创造物 和想象物，而客观世界决没有与之相适应的东西。可是情形恰恰相反，自然界对 这一切想象的数a都提供了原形。”可见抽象的微积分的产生是有着明显的实际背 景的，而决不是什么“量的鬼魂”。
数和形是数学研究的对象。这无疑是正确的。但是对数和形的概念的 理解不能总是停留在客观现实的直观理解上。其实，随着数学的发展，数和形的 表现呈现出多种多样的形式和极其复杂的情况。数和形的概念不再具有与外界现 实直技密切相关的性质，而表现为层次愈来愈高的抽象。人类对自然数无穷序列 的认识就经历了不同等级的抽象过程。由具体車物到自然数概念这是第一级抽 象;由具体的a然数到一般的Q然数《，这是第二级抽象;从任意有限多个自然数到 自然数无穷序列这是第三级抽象。卉线在一个方向上有大小，平面在两个方向上 冇大小，而立体在三个方向上有大小,这就是玆"冷上通常所说的一维、二维和三 维空间。这是现实物质空间性质在数学上的反映，建立在此第础上的四维、五维、 …n维空问,无限维空间乃至一般的抽象空间——这些曾被不少人看作是“狮头羊 身蛇尾的或半人半马的妖怪”的数学概念，不再直接来源于现实，但它们也足间接地来源于现实的。恩格斯在《自然辩证法中，从几何学的空间概念出发，从箨 术和代数学的数是出发，深入地研究和分析了“无限”这个漑念的抽象过程，指出 “不仅有一次的无限，而且还有二次的无限，我们的读者如果髙兴的’，还可以用 E!己的想象构造出无限空间里的次数更高的无限。”抽象思维的自由创造，是由 来0经验的初始m念和原理的有意识的合乎逻辑的发展。这是不值得奇怪的。
我们承认，抽象思维对数学的发展起了巨大的推动作用。柚象思维的 发展过程也就是数学真®断被揭示的过程。但是在一定的历史条件下,人们对物质 世界的认识，只能达到一定的深度和广度，人们掌握客观真理的限度是受历史条 件制约的。因此，人的认识具有相对性，真理也具有相对性。反映在数学上，其 定理公式的真理性也是相对的。数学的抽象形式表现力是有限的，杣象后的数学 概念自身总是带有某种局限性和片面性。如果把数学理论的发展自封于抽象的形 式柜架里，这只会为数学“开辟了获得最大成就但也造成谬误的道路„”恩格斯在 《自然辩证法》中一针见血地指出：“全部所谓纯数学都是研究抽象的，它的一 切数量严格说来都是想象的数量。一切抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己 的反面。”这是体现在数学发展上的事物相对性原理的精彩论述，同时也说明了 数学的抽象是应该与客观外界事物相联系的，脱离实际的想象的抽象是违背事物 发展规律的。
马克思、恩格斯关于数学的研究和论述,闪耀着辩证法的光辉。他们 既把数学作为“辩证的辅助工具和表现方式”，又认为：“变数的数学——其中最 重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学上的运用。”在辩证法和数 学的结合上，他们既阐明得精辟深刻，又运用得得心应手。
辩证唯物主义认为：世界是永恒运动着的物质世界,运动是物质的根 本属性。马克思、恩格斯既阐明了数学基础的唯物论观点，又认为运动是数学的 根本属性，从而与孤立地、静止地看待数学的形而上学观点划清了界限。马克思 精心研究了微积分的发明者牛顿、莱布尼兹各自提出的“流数”和“无穷小”概念， 正当不少数学家和哲学家为这两个概念喋喋不休地激烈争辩时,马克思独具匠心, 指出微分系数的双重意义：“一个是表示运动另一个表示它的值，它的极限。” 并指出：计算中“唯一的困难是在逐渐消失的量之间固定的一个比的这种辩证的见解。”马克思还研究了髙阶导数的计算。
指出计算只把当作运动的出发点,计算只是把当作运动的出发点，并 说:这是“奇妙的”，但是理解了这个运动出发点的含义时,也是“不足为奇”的。恩 格斯还考察研究了积分的实际背景：水蒸汽的分子运动,指出它“在蒸气机的汽缸 中积累起来，把活塞举高一定的距离，而自己转变为物体的运动的时候，这一运 动不是被积分了吗”“这种积分和数学上的积分不同的地方在一种是由人的头脑 有意识地完成的，另一种是由自然界无意识地完成的而“头脑的辩证法只是现实 世界（自然界和历史）的运动形式的反映。”因而数学上积分的实质是物质运动 的结果。恩格斯热情称赞笛卡儿的变数（即解折几何)是数学中的转折点，并强 调指出这个转折点的意义是“运动进入了数学”、“辩证法进入了数学”。并说：“只 有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运 动恩格斯的上述论断不仅阐明了运动是数学的根本属性,而且还说明了数学的运 动属性是表现为数学的运算。物质的运动有其自身的规律性，数学的运算也有其 自身的规律性。这些规律性表现为数学运算的发展变化中的相互依赖和联系，彼 此之间的转化和互换，即这些规律性集中表现为对立统一规律。马克思研究了微 分和求导这样两种运算，若对函数r==_f(X)求 在等式的右边，成了这个等式本身的内容。马克思接着指出：“它们 表明要进行的运算并因而作为出发点的这种作用，是已经在自己领土上活动的微 分学所固有的。不容置疑，数学家中未尝有人注意到这种转换，尤其没有人用一 种完全初等的微分等式来证实这种转换即作用上的逆转是必要的。”马克思在研 究曲线的切线时,指出“要敢于把弦等同于弧，或者反过来把弧等同于弦。”这正 是直与曲的对立统一观。数学中最基本的运算加、减、乘、除，乘方、开方、微 分、积分,它们各自都表现为互为逆运算的关系,除了它们各自的互为逆运算关系， 在所有这些运算之间也还存在着其它许多联系，它们也是可以互相转化的,正如 恩格斯所说:在数学发展过程中"计算方法的一切固定差别都消失了，一切都可以 用相反的形式表达出来”，而“这种从一个形式到另一个相反的形式的转变并不是 一种无聊的游戏。它是数学科学的最有力的杠杆之一。”数学的发展充分证明了 恩格斯这一论断的正确性。
牛顿、莱布尼兹公式：是把区间上的定积分转变到这个区间端点上的原函数的值。格林公 式：
是把以平而区域为积分范围的二重积分转变到沿着平而曲线进行的 曲线积分。类似地，由髙斯公式，三重积分转变到了曲面积分。揭示这种或那种 联系，不仅为解决数学问题提供了有效手段，而且在此基础上，还可以使我们有 可能认识到更本质的背景，从而发展到更加广阔的领域，取得人们意想不到的结 果。所以，恩格斯说：“数学，把某个确定的数，.例如把一个二项式,化为无穷级 数，即化为某种不确定的东西，从常识来说，这是荒谬的举动。但是，如果没有 无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？” 辩证法的基本规律之一是否定之否定规律。对任何事物的否定都是转 化为另外一种事物，而不能化为绝对的无。辩证的否定决不是简单而轻易地将旧 事物抛弃，而是为新事物的产生铺垫道路，从而推动事物的发展。数学上的“零” 是对任何定量的否定，但是这种否定为数学的发展带来了H新月异的变化，其本 身具有丰富的内容。恩格斯指出：“作为一切正数和负数之间的界限，作为能够 既不是正又不是负的唯一真正的中性数，零不只是一个非常确定的数，而且它本 身比其他一切被它所限定的数都更®要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的 内容。” 辩证法的否定之否定规律在马克思、恩格斯的数学研究中得到了充分 的运用。马克思把导数的运算就作为否定之否定的过程。他指出，在导数运算中 “首先取差，然后再把它扬弃，这样在字面上就导致无。”这种开始由否定造成的 “字面上的无”实质上表明否定的性质是既克服又保留，最终目的是实现导数运算， 所以马克思紧接着说：“理解微分运算的全部困难(正象理解否定的否定本身时那 样)，恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续，并因此导出实际 结果的。”并且马克思以利用二项式定理求函数r=x2的导数为例，把否定之否定 规律的应用戏称为“魔术”，指出否定的是“挡路而并不真正属于导数”的那些项。
实际上：
去掉最后一项(OT2，得汉=2XdX,马克思在《数学手稿》中，常常使用“扬弃”这个概念，深刻阐述了辩证的否定不是简单地抛弃而是扬弃，保留以往 发展中对新事物有积极意义的东西，并把它发展到新的阶段。
为了批判杜林的错误观点，恩格斯也研究了微分中的否定之否定规律， 并认为在微积分中，“否定的否定表现得更加明显。”恩格斯是这样设想的，给定 了二个变量X和F，给X—个变化，r也按照条件所规定的关系（函数关系）同时 变化，然后把X和r加以微分，让x和f都趋于消失，这样，1=1。恩格斯指出：“两 个已经消失的数的这种关系，它们消失的确定的时刻本身就是一种矛盾，但是这 种矛盾并不能妨碍我们。”“我不是象形而上学者否定它们那样,否定了它们，就 不再顾及它们了，而是根据适合于条件的方式否定了它们。这样，我在我面前的 公式或方程式中得到的不是工和而是X和Y的否定，即dX和狀。”恩格斯还研究了 微分和积分的关系。他认为，如果说微分是第一次否定,则积分是否定微分，是 第二次否定。他说：«把dX和当作实数——虽然是服从某些特殊规律的数，并且 在某一点上我否定了否定，就是说，我把微分式加以积分，于是又重新得到实数 叉和r代替dx和dY’这样，我并不是又回到了出发点，而是由此解决了普通的几何 学和代数学也许碰得头破血流也无法解决的课题。”®由此可以看到，否定之否 定的结果，实质上是微分和积分这样两种现代数学的最重要的运算。否定之否定 实现了数学发展的巨大变革。这是质的飞跃。
如果说唯心论者利用数学这门科学特有的思维方式，顽固地坚持唯心 主义的主张，与唯物主义分庭抗礼，那么在辩证法和形而上学的斗争上，则是另 一番情景数学走到了这样的领域,在那里即使很简单的关系，如单纯的抽象的量 之间的关系，甚至极限，都采取了完全辩证的形式，迫使数学家们既不自愿又不 自觉地成为辩证的数学家。”对于这种情况，值得我们运用马克思主义，全面分 析研究数学发展的历史和现状,进一步作出科学的回答。
马克思、恩格斯关于数学的哲学理论，是数学客观规律性的经典论述。
以马克思、恩格斯所揭示的数学哲学原理为指导，推动当前的数学教学改革，不 断提高数学教学质量,深入进行数学教学法的研究，是有重大现实意义的。第一，数学教学要遵循认识的客观规律，因材施教,循序渐进。
数学教学的层次、类别和对象是多种多样，千差万别的，教的目的是 为了让学生学到知识，学生是教学的主体，学生学习的过程也就是对数学知识认 识和接受的过程，同时教师在教的过程中也有一个认识新知识，认识教学对象的 过程。正确的认识包括正确认识数学知识和正确认识教学对象两个方面。
虽然数学有其抽象的特征，但它也是“表现世界的联系形式的一部分 ——正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。数学的现实性是不以人的意志为转 移的客观真理。因此，数学教学应与其他自然科学的教学一样，把它建立在客观 世界的联系理解上。在此基础上，随着数学抽象层次的不断深化，对数学知识的 认识和接受也一层高一层的发展，这样,数学的教学就有一个循序渐进的过程。
强调数学的抽象特征而违背认识的客观规律，只能导致欲速而不达的结果。近代 数学形成的结构主义学派认为全部数学或大部分数学都可以依照结构的不同而 加以分类，用公理化方法抽象出各个学科的各种结构，找出各数学分支间的结构 差异。这样就可以获得各数学分支的内在联系和清晰图像。在他们看来，数学无 非是各种结构的建成和发展而已。结构主义的观点反映在数学教学领域，曾经导 致在欧美诸国十多年的“新数运动”，按照“新数”的教学观点，一开始就要给学生 讲授最一般的数学结构系统。于是象集合论"与抽象代数乃至数理逻辑都成为必 要的基础工具。青年学生的记忆力和摹仿性都较强，当然开始时也容易依葫芦画 瓢地在数学结构系统中表现一番。但这种教学违背一般人的正常的认识过程,所 以“新数”在数学教学中失败了。这造值得吸取的历史教训，对此至少有两条应该 引起我们的注意：其一是正确认识数学的发展过程,教与学要坚持循序渐进的原 则；
其二是要正确认识教学对象，要坚持因材施教的原则。不要做那些违背认识 规律的事。
第二,数学教学要遵循具体抽象律，坚持数,形结合。
具体抽象律是具体的思维形式与抽象的思维形式对立统一的运动规 律。马克思、恩格斯在强调数学的抽象思维的同时也强调数学的形象思维。恩格斯形象地把在容器.中热的水蒸汽由于压力和冷却凝结成水的过程称为“自然界 无意识地完成”的积分，把数学的积分称为是“由人的头脑有意识地完成的。”因 此，在数学教学中，教师在注意引导学生进行抽象思维的同时，要特别注意引导 学生进行形象思维，掲示数和形的对立统一，从而深刻认识数学抽象概念的本质。
我们知道，凡是有邻域系的集合就称为拓扑空间，邻域系称为拓扑结构。尽管这 些概念深奥难懂,但究其实质，所谓拓扑学就是研究拓扑变换下不变性的一门几 何学。河边柳树枝的飘摇，河水的流动，.绳子的打结，锻工车间的压模等等， 都可以纳入拓扑变换的范畴。至于可以建立在几何直观上的概念，那就更多了， 函数导数、微分、积分、极值、中值定理等等，都具有生动的几何直观。几何直 观虽然不能替代严格的数学证明，但这种直观正是引导学生抽象思维与逻辑证明 的源泉。无怪不少数学家认为：“任何数学概念只有在理解其几何意义后才是真 正理解了。”从思维的具体抽象律来看，这句话是不过份的。
第三,数学教学要遵循分析综合律,注重数学能力的培养。
数学教学中，学生数学能力的培养是至关重要的，数学能力既包括掌 握数学知识的能力，也包括运用数学知识解决实际问题的能力，当然视学生培养 目标的不同，数学能力的范围和要求也是不尽相同的。就掌握知识的能力来说， 集中表现在对数学知识的分析综合能力上，其实这说是分析综合律在数学教学上 的应用，它包括以下几个范畴：
(一）比较和区别 在认识周围世界的最初阶段上，事物总是通过比较而被认识的。没有 比较就没有区别，没有区别就没有比较，有区别才能有更深广的比较，比较和区 别是分析综合的开始。在数学教学中，要始终注意新的教学内容同旧的教学内容 的比较，其中包括新旧磁念、定义、公式、定理以及所用方法的比较，然后找出 它们之间的区别和联系。恩格斯在当时的历史条件下，就曾经比较了高等数学与 初等数学，研究了髙等数学中存在的矛盾，指出“髙等数学利用这些和其他一些 更加尖锐的矛盾，获了不仅是正确的，而且是初等数学所完全不能达到的成果。”@其实，髙等数学区别于初等数学的地方，莫不在于髙等数学中的重要概 念几乎都是建立在严格的极限基础上，明确了这个区别，在髙等数学教学中就能 抓住主要矛盾。再例如比较一元微积分与多元微积分。多元函数的微分和积分是 建立在一元函数的微分和积分之上的，它们有许多相似之处，但是多元函数微积 分理论是一元函数微积分理论的发展。辩证唯物主义认为发展是对立的统一，所 以从一元函数转到多元函数,会出现某些原则上是新的东西,在教学中注意这些新 的东西，也就注意了多元函数与一元函数的区别，这无疑是重要的。
(二）归纳与类推 归纳类似于概括,类推相当于演绎，但与演绎又不尽相同，演绎是从 一般到个别，但类推可以更加灵活。这是分析综合的又一个重要范畴，数学研究 需要它，数学教学也需要它。马克思在晚年的数学研究中，大量使用了这一方法, 他得到的一般复合函数微分公式就是由计算具体复合函数的微分归纳而来，两个 函数乘积的微分公式就是从两个函数乘积的求导公式类推而来的。归纳有从个别 情况到一般结论的归纳，数学中大量的一般递推公式的建立和数学归纳法的灵活 运用都是最典型的例子。除了此种归纳，还有对内容和方法的归纳。例如对求极 限方法的归纳，这对于学生全面掌握求极限的各种方法是很必要的。演绎类推一 般是数学中用来作逻辑论证的方法，这是数学教学中最基本的训练之一。在极限 理论的教学中，从聚点定理，区间套定理，有限复盖定理等命题的任一个出发证 明其它等价命题，就是一种很好的逻辑思维的训练。
(三）联系和综合 数学的各个概念和运算，不论其不同学科之间还是一门学科内部的各 组成部分之间.都存在一定的关系和联系。随着现代数学的日益发展这种关系和 联系更加紧密，在具体概念中，他们是各不相同的，但在抽象的概念中，它们实 际上融为一体。高等数学中的基本运算:极限、求导、微分、积分在抽象空间中.， 它们就都是线性算子，因此在数学中应该注意各概念之间的联系，在一定范围内， 把握各概念间的全部联系，这就是综合的过程，综合是在其它方法的基础上，纵观全局的过程。通过联系和综合，使学生对所学学科的来龙去脉有一个清晰的理 解，掌握该门学科区别于其他学科的思想方法，形成规律性的认识。
马克思、恩格斯关于数学的哲学理论对数学教学的指导作用是多方面 的，自觉运用马克思主义指导自己的教学实践是教师的祟高责任。本文只是谈了 一些粗浅的认识，以墙教于同志们。
本文作者：李少斌