小学课程中各年纪鸡兔同笼问题的解法与分析
小学课程中各年纪鸡兔同笼问题的解法与分析 “鸡兔同笼问题”是我国古代数学名著《孙子算经》中 记载的一道数学趣题，其解法之多、思想之广、变式之灵活 是众所皆知的。正因为如此，这节课的教学方式丰富多彩， 在名师展示的舞台上更演绎出多种方法，有的侧重于画图， 认为这是最直观、最容易理解的方法；有的侧重于列表，认 为学生有列表的经验；
有的侧重于假设，认为假设法书写简 洁方便。如今，该内容已经出现在新版四年级数学教材中， 而且将方程的解法置之度外，其难度可想而知。那么，这节 课如何教学呢？ 笔者认为，“鸡兔同笼问题”看似是3种不同的方法， 但其本质都是“调整替换”。追寻本源发现，“鸡兔同笼问 题”中随着鸡的数量逐一增加，鸡和兔脚的总数按2只递减。
正是由于这一基本变化规律，很容易得出结论：如果脚减少 2只，应该将1只兔换成1只鸡。反之，脚增加2只，应该将1 只鸡换成1只兔。在小学数学中，探索规律是让学生在给定 的事物中发现、探求隐含的规律或变化趋势，而“鸡兔同笼 问题”就是要通过画图、列表、算式等方法，让学生经历“初 步感知规律、发现形成规律、应用规律”这样的过程，因而 本节课的教学实质是规律教学，应该纳入规律教学的范畴， 需要走规律教学的路径，其3种方法的教学缺一不可。
一、画图法――初步感知规律 规律是指事物之间的内在本质联系，是客观存在的，不以人们的意志为转移。找规律重在“找”，学生通过自主探 索、动手操作来感知内在联系。教学“鸡兔同笼问题”时， 可用画图法来“找”规律、感知规律，这是规律教学的着力 点。教学前，笔者先进行前测。前测题如下：
1.鸡兔同笼，从上面看共有3个头，从下面看共有16条 腿，鸡、兔有几只？ 2.鸡兔同笼，从上面看共有8个头，从下面看共有26条 腿，鸡、兔各有几只？ 据统计，一共收到52份前测卷，用画图解决的有35人， 列算式的3人，列表的1人。第一题做对36人，第二题做对28 人。显然，画图是学生最喜欢用的方法，正因为学生有这样 的经验，为“鸡兔同笼”的规律教学奠定了基础。虽然学生 呈现的静态图一样（见图1），但在画的过程中想法是不一 样的。笔者访谈了几位学生，发现学生的方法不一：有的毫 无计划性，鸡画几只，兔画几只，最后调整；
有的对半分开 画，先画鸡兔各半，再调整；
还有的先全部画鸡，多出来的 腿按2条一组添上去变成兔。虽然学生画的方法不一样，但 他们都经历了“调整替换”的过程。画图是最直观的解题方 法，旨在通过画图中的有序思考发现、形成规律，并嫁接起 列表法、假设法，教师必须放慢脚步，让学生都来讲讲自己 的画法，在聆听别人有序思考的基础上初步感知规律，提升 思维品质。
通过对前测中学生不同画法的交流，可以发现学生对“鸡兔同笼问题”的内在规律已经有了初步感知，替换一次 多（少）2条腿。教师不能只教会学生一道题的解题思路和 方法，而是要通过一道题类推到一类题，做到举一反三、触 类旁通，帮助学生建立“鸡兔同笼问题”的模型。例如，学 生熟悉的摩托车和小汽车问题、龟鹤问题等，都与鸡兔问题 模型完全一致，能够使学生很好地建立起联系。此外，让学 生通过画图感知“相差数都是2”，所以，调整替换的时候 是2条腿。当变式“相差数是1”时，学生理解就有困难。笔 者特意在解决摩托车和小汽车问题后设置三轮车和小汽车 的问题，让学生先画一画，充分感知“相差数是1”的规律， 画图能让学生非常直观地感知到“调整替换”的就是两个量 的差，它是根据情境变化而变化的。
学生已经有了画图找规律的经验，而“鸡兔同笼问题” 中头数与腿数的变化规律隐含在替换过程中，学生通过画图 才能直观感知内在规律。所以，通过画图，可以帮助学生感 知“鸡兔同笼问题”用相差数替换的规律、发现形成规律、 发展形象思维能力。
二、列表法――发现形成规律 列表能清晰地表示两个量之间的数量关系，在变与不变 中发现规律。从直观的画图到半抽象的列表，有利于学生发 现、形成规律。通过画图，学生对“鸡兔同笼问题”的规律 已经有了初步感知，但此时的感知是粗浅的、零散的，需要 整理、对比、分析，才便于学生发现形成规律。就这么简单的摆一摆、换一换，将表中每个数据的含义 诠释得一清二楚，尤其是让学生发现了邻近两列数之间的变 化规律：每换1只兔子就多了2条腿，真正理解了“2”表示 的意义，它并非是鸡的2条腿，而是1只鸡和1只兔腿的差。
这个替换的过程在画图时学生有了初步感知，但还有部分学 生一知半解。因为画的时候学生只关注腿的数量，而忽视了 头的变化。所以，将静态的数据用动态的操作去支撑，更有 利于对规律的理解，更有利于模型的建立，有利于学生逐步 发现规律。除了理解表格中每个数据的含义，以及邻近两列 数字的变化规律还不够，学生只理解了逐只调整替换的过程， 无法与一次性替换的画法有效嫁接。所以，应在学生基本理 解列表法的基础上完成表格，并对表格进行再度挖掘，引导 学生发现规律。
三、假设法――应用规律 学生对数学规律的学习，除了感知规律、发现形成规律 外，更重要的是能运用规律解决一些实际问题。当“鸡兔同 笼问题”涉及的数据越来越大、越来越复杂的时候，学生越 来越感觉到画图法和列表法的繁杂，同时，他们对其中的规 律已经明晰，这时假设法便应运而生。运用假设法解决“鸡 兔同笼”问题，学生不难总结出如下规律：鸡的只数=（头 的总个数×4-脚的总只数）÷（4-2），兔的只数=（脚的总 只数-头的总个数×2）÷（4-2）。运用这个数学模型，可 以快速解决类似问题。数学建模是解决实际问题的一种思考方法，数学教师有责任让学生学习和初步掌握数学建模的思 想方法，从而更积极、主动地学习数学，使学生终身受益。
规律学习的过程离不开初步感知、发现形成、运用规律， 而“鸡兔同笼问题”的3种解法分别很好地与之对应。因此， 上述3种方法缺一不可，不能根据教师的喜好随意选择。画 图法让学生在画的过程中充分感知“替换调整”的规律；
列 表法让学生将规律用半抽象的数据进行呈现，发现形成规 律；
假设法能使学生应用规律解决一些实际生活问题。真正 的教学，要还学生一个思维的舞台，且循着规律教学的路径， 才能使学生获得知识与技能，积累一定的基本活动经验，感 悟数学思想，提升思维品质。