初中数学变式教学策略与方法实践研究
初中数学变式教学策略与方法实践研究 教不研则浅，研不教则虚.所谓变式教学，就是以培养 学生独立思考和灵活转换能力为目的，教师在教学过程中精 心设计一些由简到繁、由易到难，不断变换问题情景和思维 角度的数学问题，使事物的非本质属性或隐或现、本质属性 却始终保持不变的教学策略.在新课标指引下，我们对初中 数学变式教学进行了长期、深入的研究。在团队组建起来以 后，为加快团队中青年教师的专业成长，我们制定了两个阶 段目标：第一阶段为队内磨课，即团队成员内部探讨教法， 逐步形成稳定的教学风格；第二阶段为队外切磋，即团队成 员与本校教研组其他教师及“国培班”骨干教师以同课异构 方式相互研讨教法，切磋教学技艺，使教学风格更加成熟. 经过漫长的个人摸索、小组研讨、团队实践，我们将长期研 究积累下来的变式教学的问题设计和课例设计进行横向联 系、纵向挖掘，在反复思考、研究中寻找规律，最终形成了 初中数学变式教学研究的基本策略和方法，固化了新知课和 复习课的基本课型模式. 变式教学的基本策略是宏观分块、中观建构、微观变式. 宏观分块是指着眼于初中数学的整体知识结构，分板块进行 研究；
中观建构是指立足于各知识板块，研究知识之间的内 在联系和变化规律，解剖知识结构；
微观变式则是指立足于 具体问题进行变式研究.宏观上，初中数学教学内容可以分 割成代数、几何、函数三大板块.从中观上研究每一个板块内部知识间的内在联系和变化规律，用变式教学的语境表达， 其实就是研究每一板块内部知识的变式主线，如：代数可分 为“数、式、关系式”，因为“式”是构成“关系式”的基 本元素，“数”的一般化就是“式”，所以研究代数其实就 是研究“式子变式”；
几何主要研究图形的“形状、大小、 位置”，所以研究几何就是研究“图形形状变式”“图形大 小变式”和“图形位置变式”；
函数是代数与几何的完美结 合，所以研究函数就是研究如何将代数与几何的变式结合运 用.最后是从微观上研究具体问题的变式方法，形成“问题 设计→主线设计→课型模式”的研究思路. 如果把问题设计看作是“点”的研究，那么主线设计就 可以看作是“线”的研究，课型模式则可以看成是“面”的 研究.因为问题设计只是针对某一个具体问题的研究，主线 设计是针对几个问题的研究，课型模式是针对整节课的教学 设计的全面研究，将三者有机结合就形成了变式教学对初中 数学的整个体系的分门别类的研究，因此可以说，我们对变 式教学的研究是由点到线、由线到面、由面到体的全方位、 立体式的研究. 一、初中数学变式教学的问题设计 在变式教学的问题设计中，不只是教师设计问题，还可 以考虑让学生参与问题设计，比如在原问题提出以后，教师 可以引导学生调动自己认知结构中和原问题相关联的知识 和经验进行思考，进而提出新的变式问题，主动参与到课堂对问题变式的构造活动中.教师通过示范教学，可以教会学 生一些构造变式的常见方法，如通过对原问题的逆向思考构 造变式，通过对原问题的一般化构造变式，通过变换原问题 的背景构造变式，通过对原问题进行类比构造变式，通过问 题开放构造变式，等等.构造变式的原则，是变中求活、变 中求新、变中求异、变中求广.变式教学中问题设计的方法 很多，包括教法、学法和数学思想的变式，这里我们主要介 绍一题多变、一题多解和一法多用这些变式方法. （一）一题多变 一题多变是指变换题目的条件和结论，如交换条件和结 论，增加、延伸题目的条件以加深结论等.但无论条件和结 论如何变，题目的实质不变，内容不会有很大变化，只是为 了方便师生从不同角度、不同侧面揭示问题的本质.下面是 对一道分式求值题的“一题多变” 【变式思路点拨】以上变式题组有两个思路，分别沿条 件和结论两个方向展开变式.其中，条件变式分三个层次， 即简化原来的条件（比原来的条件更接近解题思路和方法， 如变式1、2 的条件变式）→进化原来的条件（将原来的条 件转换了2 步以上，如变式3、4、5）→强化原来的条件（将 原来的条件增加新的关系，如变式6、7、8）；
结论变式也 分三个层次，即平次变式（即原来式子的分子、分母的次数 保持不变）→升次变式（即原来式子中分子、分母的次数均 提高为相同的次数）→多元变式（即由原来式子中只含2 个字母变为含3 个，甚至更多）.条件变式的前两个层次与结 论变式的前两个层次可以任意组合，形成更多的变式题.当 然，本组变式题还可以沿更多的方向展开，这可以根据教学 内容、教师个人的教学功底和学生学习的基础和能力，师生 合作自由发挥. （二）一题多解 一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论 的必然本质联系，用不同解法求得相同结果的思维过程.引 导学生对同一问题材料从不同角度，用多种方法进行思考， 探求不同的解题方案，这样既可暴露学生解题的思维过程， 增加教学透明度，又能拓宽学生的解题思路，使学生的思维 得以向多个方向发展，进而激发其强烈的求异欲望，培养其 思维的灵活性、发散性、广阔性，使其熟练掌握知识的内在 联系.下面仍以上述分式求值题为例. （三）一法多用 一法多用指的是那些表面看起来形式并不一致甚至差 别很大的问题，其求解思路、解题步骤乃至最后结果却非常 相似，甚至完全相同，即这些问题所使用的解题方法只有一 种.一法多用与一题多解是习题教学中相辅相成的两个方面. 如果说，一题多解是拓宽思路、培养分析变通能力的有效手 段，那么一法多用则是使知识系统化、提高综合归纳能力和 培养应用意识的有效途径.教师经常引导学生对这些形异质 同的问题进行归类分析，让学生学会抓住其共同特征解决问题，可以提高学生思考和解决问题的能力. 变式2 有一群老鼠偷吃一堆大米.第一只老鼠吃了一半 走了，第二只老鼠吃了剩下的一半走了，第三只老鼠吃了第 二只老鼠剩下的一半走了……一直到第九只老鼠吃完后，你 能知道这九只老鼠一共吃了这堆大米的几分之几吗？ 变式3 如图2，将一个边长为1 的正方形纸片分割成7 个 部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的 一半……依此类推． 变式4 已知边长为1 的正方形，按图3 的方式分割，第 1 次分割后阴影部分的面积S1= 1/2 ，第2 次分割后阴影部 分的面积S2= 3/4 ，第3 次分割后阴影部分的面积S3= 7/8 … …按照这样的规律分割，则第n（n 为正整数）次分割后阴 影部分的面积可用n 的代数式表示为Sn=______. 【变式设计说明】这是一组列式运算的变式题组，它从 一道纯计算题，分别变为一道有条件的求值问题，一道附上 实际背景的应用问题，一道带有几何图形的图形综合应用问 题.虽然问题呈现的方式进行了多角度的变化，但是问题解 决的方法是恒定的，这样的“一法多用”编题便是对“形变 神不变”的充分演绎. 二、初中数学变式教学的主线设计 我们的主线设计，是一种串点成线、由线及面的教学设 计模式.我们认为，成功的课堂必有一条科学、合理、线条 清晰的主线.落实到初中数学课堂中，这条设计主线应是围绕教学重点铺设的贯穿课堂首尾的主要发展脉络.主线设计 方法在不同知识板块有不同的表现：代数类变式设计表现为 “式子变式”；
几何类变式设计表现为图形形状变式、图形 大小变式、图形位置变式三种，其中图形位置变式又可细分 为静态变式和动态变式两种，动态变式又进一步细分为图形 运动变式、图形变换变式；
函数类变式则是将代数类和几何 类变式进行综合运用.此外还有综合类“情境变式”.下面我 们分别选取代数类的式子变式、几何类的图形形状变式和函 数类的“式子变式+图形运动变式”的案例进行主线设计说 明. （一）代数类“式子变式”的主线设计 代数类式子变式通常以某一式子为主线，分别从以下几 个方面进行变式：系数变→符号变→位置变→指数变→因式 变→项数变.下面以式子变式为主线引导学生学习平方差公 式. （二）几何类“图形形状变式”的主线设计这里的图形 形状主要是指三角形、四边形、n 边形和圆，而且这里研究 的图形形状变化是一种静态变化，主要从两个方面入手.一 是从图形的横向变化入手，采用由特殊到一般或由一般到特 殊的思路进行变式设计，如：三角形可以是等边三角形→等 腰三角形→一般三角形，或者锐角三角形→直角三角形→钝 角三角形→一般三角形；
四边形可以是正方形→矩形→菱形 →平行四边形→一般四边形，或者平行四边形→梯形→一般四边形.二是从图形的纵向变化入手进行变式设计，比如从 三角形→四边形→五边形→六边形→n 边形→圆等.下面以 图形形状变化为主线研究函数的最值问题. 原问题现有铝合金材料12米，准备用它做一个如图4 所 示的矩形窗框.问：窗框的长AD 为多少米时，矩形面积取得 最大值？ 变式1 现有铝合金材料12 米，准备用它做一个如图5 所 示的窗框，窗框的上半部是半圆，下半部是矩形，设OD 为x 米，窗框的总面积为y 平方米，求：y 与x之间的函数关系 式（O 为AD 的中点）. 变式2 现有铝合金材料12 米，准备用它做一个如图6 所 示的窗框，窗框的上半部是等腰直角三角形，下半部是矩形， 设OD为x米，窗框的总面积为y平方米，求：y与x之间的函数 关系式（O为AD的中点）. 变式3 现有铝合金材料12 米，准备用它做一个如图7 所 示的窗框，窗框的上半部是正六边形的一半，下半部是矩形， 设OD 为x 米，窗框的总面积为y 平方米，求：y 与x 之间 的函数关系式（O 为AD 的中点）. 【变式设计说明】本案例主要研究12 米长的铝合金材 料制作成不同几何形状窗框的面积问题.它是以图形形状变 式为主线，主要呈现了矩形→矩形+半圆→矩形+三角形→矩 形+梯形几种图形形状，由单一的几何图形变式为复合的几 何图形，问题由浅入深，层层推进.此问题沿着图形形状变式还可以继续研究，如变式2 中的等腰直角三角形可以变为 等边三角形或特殊的等腰三角形等，变式3 中的等腰梯形还 可以变为其他特殊的多边形……问题由简单到复杂，由特殊 到一般，可以培养学生的发散思维能力. （三）函数与图形结合的运动类变式的主线设计 函数与图形结合的运动类变式是指几何图形与函数图 像结合，进行运动类问题研究的一种变式设计的方法，其研 究目的是从运动的角度揭示知识的发生、发展和形成过程， 发现其中所蕴含的规律.常见的运动类型有平面直角坐标系 中的几何图形的顶点、边长、图形在坐标轴或函数图像上运 动.下面以图形运动变式为主线研究反比例函数中的面积问 题. 1.面积矩形的一边在数轴上运动. （1）一个面积矩形（如图8 中的矩形ABCD）的一个顶 点（A）在一个反比例函数的图像上. （2）两个面积矩形（如图9 中的y 轴把ABCD 平均分成 两个面积相等的矩形）的两个顶点（A、B）分别在两个反比 例函数的图像上. 2.面积三角形的一个顶点在数轴上运动. （1）一个面积三角形（如图10 中的三角形ABC）的一 个顶点（A）在一个反比例函数图像上. （2）两个面积三角形（如图11 中的y 轴把ABC 平均分 为两个全等的三角形）的两个顶点（A、B）分别在两个反比例函数图像上. 原问题如图12，已知点A 在反比例函数y=6x的图像上， AB∥x 轴且交y 轴于点B，点C 与原点O 重合，求阴影部分 的面积. 变式1 如图13，已知点A 在反比例函数y=6/x的图像上， AB∥x 轴且交y 轴于点B，点C 是x 轴上一点，求阴影部分 的面积. 变式2 如图14，已知点A 在反比例函数y=6/x的图像上， AB∥y 轴且交x 轴于点B，点C 是y 轴上一点，求阴影部分 的面积. 变式3 如图15，已知点A、B 分别在反比例函数y= -4/x 和y=6/x的图像上，AB∥x 轴，点C 与原点重合，求阴影部 分的面积. 【设计说明】以上变式题组主要是理解、巩固反比例函 数y = k/x（ k ≠ 0）中k 的几何意义，也就是我们所说的 两个基本图形面积矩形和面积三角形，并灵活运用这两个基 本图形解决函数图像与几何图形相结合的面积问题.不管问 题设计的角度如何巧妙，图形如何复杂，只要抓住这两个基 本图形即面积三角形和面积矩形，寻找问题设计的路径，就 一定能发现解决此类问题的规律. 三、初中数学变式教学的课型模式 我们对课型模式的研究是依据初中数学课中的常见课 型展开的，如新知课中的概念课、定理课、公式法则课、运算课，复习课中的习题课、单元复习课、专题复习课等.因 此，我们把变式教学的课型模式分成了新知课和复习课两大 类.不论是哪种类型的教学模式，都是围绕三维目标，以培 养学生的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经 验为目的，以培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解 决问题的能力为宗旨.下面介绍这两类课型模式的具体教学 环节和各环节的操作方法. （一）新知课课型模式 新知课体现一个“新”，是教师组织学生对新概念、新 公式、新定理、新法则等新内容进行学习，旨在引导学生有 效自主探究，主动发现新知，并灵活运用所学知识进行多角 度、分层次的思维训练，最终将新知纳入自己的认知体系， 形成认知经验，打下扎实的认知基础.基于这样的教学理解， 我们对新知课建构了“四环节教学模式”，即“问题导入— 新知探究—变式应用—总结升华”. “问题导入”是课堂教学的开端，是教学乐章的前奏. 教师借问题导入沟通师生情感，根据教学内容和教学对象的 需要铺垫适当的教学情境，引领学生快速集中注意力进入学 习状态.我们为“问题导入”创设了故事导入、类比导入、 设疑激趣、游戏导入、动手操作导入、儿歌导入、视频导入、 实物模型（或实物图片）导入、以旧引新导入、生活实例导 入等一些常用的导入方法. 在“新知探究”环节，教师要给学生留足时间和空间，让学生经历观察、操作、思考、分析、猜想、验证、推理、 归纳等一系列动手动脑的活动过程.新课标指出：数学教学 应该从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供 充分的从事数学活动和交流的机会.我们所研究的“新知探 究”常用方法有数形结合的探究方法、分类对比的探究方法、 类比的探究方法、合情推理的探究方法、由特殊到一般的探 究方法等. “变式应用”的核心是设计一系列的变式问题，来展示 知识的发生、发展、变化的过程，揭示数学问题的结构和演 变过程，展示解决问题的思维过程，进而培养学生良好的思 维品质.常用的“变式应用”方法，代数类变式的主线设计 有基本元素变式（系数变→符号变→位置变→指数变→因式 变→项数变等）和基本题型变式（直接应用→间接应用→逆 向应用→综合应用→构造应用→开放应用）.几何类变式的 主线设计有图形形状变式、图形大小变式和图形位置变式， 而图形位置变式又可细分为静态和动态两种，动态又进一步 细分为图形运动变式和图形变换变式. “总结升华”是课堂教学的结束，也是师生达成共识的 收尾音符.有效的课堂总结需要引领学生梳理知识要点、归 纳解题方法、领悟数学思想，为整节课起到画龙点睛、高屋 建瓴的作用“. 总结升华”常用的方法有思维导图归纳法、 图表归纳法、文字归纳法、知识树归纳法等. （二）复习课课型模式复习课可分为专题复习课和单元复习课，其教学设计遵 循“四化原则”，即知识呈现问题化、问题设计系列化、问 题变式层次化、问题解决方法化.复习课以培养学生的学科 素养为目的，具有再现性、概括性、系统性、综合性等特点， 需要认真选择有代表性的问题，设计层次序列优化的系列问 题，在拓展延伸中为学生发散思维和进行问题创作提供平台， 便于学生形成具有高关联性、高生长性、高迁移性的知识和 能力.我们据此创设了复习课的“五度教学模式”，即“有 效度的问题呈现—有梯度的问题变式—有深度的问题拓展 —有广度的问题开放—有高度的问题归纳”. “有效度的问题呈现”，可以从问题呈现的方式和问题 选择的原则两个方面来理解.问题呈现的方式可概括为两 种：一是“分”，即从一个简单问题切入，或从一个复杂问 题中分解出一个基本问题作为教学的起点；
二是“总”，即 从一个复杂问题导入，或从一个中考压轴题导入，设计一个 悬念作为教学的开始.问题选择遵循统摄性、目的性、科学 性和可拓展性基本原则，根据教学内容和学情需要，既可以 从教材的典型例题和练习题中直接选题或对其稍加改编，也 可以从学生作业题和考题中直接选题或对其稍加改编，还可 以从中考题中直接选取具有代表性的考题或对其稍加改编. 顾泠沅主持的“青浦试验”曾经对优秀教师与一般教师 分别进行深入的研究，结果表明：优秀教师特别“能根据数 学问题和学生的特点使课堂教学呈现精当的层次序列”.我们规定“问题变式有梯度”，就是以这个实验的结果为依据， 以最近发展区理论为指导，要求教师通过对原问题进行多角 度、多方面的思考，设计出由浅入深、层层推进的变式题组， 为学生的学习搭建脚手架，并以学情为基础灵活调节问题的 变化梯度. “问题拓展有深度”是指在“问题变式”的基础上进行 有一定深度的问题拓展与延伸.变式教学在设计思路上遵循 “横有宽度、纵有深度”的基本原则，本环节侧重纵向深入， 重点设计具有思考性和挑战性的问题，以提升学生学习能力 为目的，引领学生实现思维突破，进行高阶思维. “问题开放有广度”旨在用开放性问题激活学生的个性 思维，激发学生的创造力，培养学生的问题意识，训练学生 思维的发散性；
通过设计不同层次的问题，让不同层次的学 生都能从自己的认知水平和知识结构出发，得到相应的发 展. “问题归纳有高度”是指通过对本节课的归纳总结，使 知识条理化、层次化、系统化、网络化，且不仅仅是停留在 这节课学了哪些知识的简单归纳层面，而是站在更高的视角 俯视这节课所蕴含的知识要点和解题方法，让学生发现解题 的规律，习得通解通法，进而领悟其中所蕴含的数学思想.