三角函数的教学探究论文
三角函数的教学探究论文 1HPM理论简介 数学史的引入对数学教学的确有一定的促进作用，但是 如何引入、引入哪些内容，一直是困扰着老师们的问题，尤 其在国内研究此领域的内容比较匮乏，因此在实际教学中有 很多老师选择避而不谈或是简略带过．数学史在数学教学中 的运用方式通常有3种，一是提供直接的历史信息，二是借 鉴历史进行教学，三是开发对数学及其社会文化背景的深刻 觉悟［2］．其第二种方式就是发生教学法，通常所说的HPM(数 学史与数学教育关系)视角下的数学教学采用的主要就是这 种方法［3］．从哲学家、教育家和数学家的论述可以看出， 发生教学法是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程、介于 严格历史方法和严格演绎方法之间的一种方法［4］．本文 基于HPM理论的背景下，以三角函数的概念教学为例，试图 找到将数学史与数学课堂完美融合的思路，为今后教师在教 学中融入数学史提供参考案例，并将数学史在数学课堂的作 用发挥到最大． 2三角函数概念的历史及其重构 三角函数概念的发展前后经历了4000多年，从早期在天 文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更 早．古埃及人由于尼罗河不定期的泛滥而遭受打击，因此他 们注意观察尼罗河泛滥的规律以及时间．后来人们注意到每 逢天狼星于黄昏之后升起的日子尼罗河就会泛滥．于是人们就开始记录天狼星与太阳的位置，人们为了解决实际问题引 入了角等概念．但是这并不是严格意义上的三角学，只能算 是三角学的前身，是一种对天文观测结果进行推算的方法． 三角学最早的创建者是希腊数学家Hipparchus(约公元前 180～公元前127)被称为三角学之父．为了定量地解决天体 的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表． 弦表是在固定的圆内不同圆心角所应的弦长，此时的正弦指 的是圆弧所对弦的弦长相当于现在圆心角一半的正弦线的2 倍．后来Ptolemy(约公元100～178)在此基础上又丰富了弦 表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是当圆的半径为60时弦的 长度，而不是一个比值．而印度数学家Aryabhata与希腊人 的做法不同，他默认曲线和直线可以用同一单位，此时他计 算的弦是圆弧所对弦的半弦长，相当于现在所指的正弦．其 后Ｒegiomontanus(1436～1476)在他的著作《论各种三角 形》中首次对三角学做了完整、独立的阐述，使三角学正式 从天文学中独立出来．在书中采用了印度人的正弦，即圆弧 的半弦，明确使用了正弦函数这一概念．讨论了一半三角形 的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面 三角形的正弦定理和关于边的余弦定理．后来哥白尼的学生、 印度数学家Ｒheticus(1514～1576)最先给出角的正弦概念， 把原来说弧的正弦改成了说锐角的正弦．三角形就形成了三 角关系的基本结构，相应的圆成了从属．他把正弦、余弦、 正切等定义成直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，至此三角学真正形成了．总之16世 纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支， 值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角 函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计 算［5］．一直到17世纪，三角仍然是常量数学的主要内容， 直到1729年Euler研究插值的方法时用三角级数表示了函数， 函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地 位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理 论建立了，正弦不再是线段，而是变成了数值，是单位圆上 点的纵坐标，而三角级数在实变函数的基础上又形成了另一 门重要的数学分支―调和分析．根据上面的历史发展顺序， 三角函数概念(以正弦为例)的发展历史大致可以分为正弦 是圆弧所对的弦的弦长，正弦是圆弧所对的弦的半弦长，正 弦是比值，正弦是单位圆上点的纵坐标［6］．概括的说就 是经历了几何的三角学，代数的三角学，解析的三角学．学 生在
初中学习的锐角三角函数的内容，相当于代数的三角学， 是用来解决三角形三边关系的主要工具．而后来当用解析的 眼光来看待三角学的时候，三角函数是用来刻画函数性质的 工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题，而任意角的 三角函数的研究与圆周运动密不可分．所以锐角三角函数是 研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角 函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，他们研究的现 象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化)，又不能把锐角三 角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”．学 生在
高中学习的任意角三角函数的内容应该是以函数的眼 光来对待，认真体会其作为函数的一些性质，尤其是周期性． 因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型．教材 (人教A版)只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内 容，接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普 遍作法也是回顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑 如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数．这种讲法无疑 就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数是锐角三角函数 的推广，自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三 角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，也有很多 同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好， 不直观难用来计算．尽管这样的处理方式很直截了当，但对 照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足:(1)没有讲 明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的 内容和方法都不同，容易造成学生的概念混淆．(2)没有很 好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现， 在三角函数的后续学习中有很大的作用．但学生在教师的实 际教学中体会的很少．基于发生教学法，考虑学生在了解三 角函数发展历史之后，就不会陷入锐角三角函数同任意角三 角函数概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函 数中的重要作用，体会其作为一个周期函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学． 3任意角三角函数概念的教学
设计 基于三角函数概念(以正弦为例)的发展历史，讲其进行 重构并应于实际教学．如图1: 3.1学情分析 学生在前面一节已经学习了弧度制，从弧度制一课来讲 数学史的引入就很有必要，很多学者在前面的研究中已经给 出了很多宝贵的建议［7-9］．在前一节的很好的铺垫下， 学生已经体会到引入弧度制的必要性，这也为本节学习单位 圆打下了良好的基础．学生在初中已经学过锐角三角函数的 定义，对三角函数(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且 学生通过弧度制的历史回顾，已经了解了锐角三角函数在解 三角形中的作用．因此我建议对于锐角三角函数的概念的回 顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成，因为 在弧度制最早的也是为了解决三角形边角关系的情况下产 生的．是区别于角度制的另外一种度量方式．而在本节课任 意角的三角函数中，先不要提及锐角三角函数的定义方式， 以免学生发生概念的混淆．等到学生熟练掌握了任意角三角 函数的概念以后，再把初高中学习的内容进行对比，这样即 可以帮助学生建构知识体系，也能让学生更好的体会任意角 三角函数作为函数的性质． 3.2教学情景设计 高中生具有丰富的生活经验和联想，因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣．如观察:钟表指针的旋转、自 行车轮子的旋转、摩天轮、跳水运动员优美的动作，这些周 期现象中都存在着超过180°的角，而且形成的图形都与圆 有关，那么我们如何研究这种周期现象呢?任意角的三角函 数是我们的好帮手，回顾历史我们可知，正弦和余弦是一对 起源于圆周运动，密切配合的周期函数，是圆对称性的直接 反映［10］．因此三角函数也叫圆函数，我们今天学习的内 容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别．就此借助单 位圆引入任意角三角函数的概念．3.2.1任意角三角函数概 念的教学片段问题一:如何借助圆来研究三角函数?回顾历 史上数学家的做法，三角学最早起源于天文学，而三角函数 是用于研究圆内接图形(主要是三角形)的工具，随着后来的 发展是用于研究确定行星位置的工具．那么如何借助于圆来 研究三角函数的内容呢?通过观察几组
图片，钟表两个指针 的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片，激发学生的兴趣．显 然我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到角的顶点 的距离为1(方便定义三角函数)，随着角度的任意扩大，以 这个点旋转一周的轨迹―圆，来帮助我们
学习三角函数．虽 然在此处没有提到，这是数学家欧拉的做法，将单位圆的半 径定位1，大大方便了我们研究三角函数的过程．我们在此 引入单位圆的定义:在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆．问题二:如何利用单位圆定义任意 角的三角函数的定义?如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)， 记做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，记做 cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，记做tan α，即tanα=yx(x≠0)．问题三:任一点P的选择，对于任意 角三角函数的值有没有影响?回顾最初引入单位圆的过程， 学生借助于相似三角形的知识可以得到点P的选择对于任意 角三角函数的值没有影响．问题四:任意角的三角函数符号 的确定与点p(x，y)的坐标有什么关系?引导学生紧紧抓住三 角函数定义来分析，r＞0，三角函数值的符号决定于横坐标、 纵坐标的正负．问题五:如何借助单位圆研究三角函数的周 期性?我们观察图形发现，角度每变化360°的整数倍的时候， 角的终边又回到了同一位置，因此终边相同的同名三角函数 值应该相等．这样一来可以把求任意角的三角函数值，转化 为求0到2π(0°～360°)角的三角函数值，简化我们的计算． 课后思考:观察单位圆，我们可以得到同角三角函数之间存 在着哪些关系呢?为一下节课研究同角三角函数的关系做好 铺垫. 4课堂实施与问卷调查 按照HPM视角下的教学设计，研究者在2013年于北京市 某重点高中实习期间做了充分的调查研究，并进行了课堂教 学的实践．该校在高中一年级学习完必修一之后接着学习必 修四的内容，可以说为任意角三角函数内容的学习做了良好 的铺垫．该校文理科班级比例为1:3，考虑到文科班的同学对于历史更感兴趣效果应该优于理科班，所以选择2个理科 班，1个文科班来进行教学．但是结果却出乎意料，理科生 对本节课表示出了浓厚的兴趣，甚至热情高于文科班．以下 是对某个理科班同学的课后访谈片段:T(教师):对今天这节 课的感觉如何?S(学生):挺好的，感觉比以往新颖，似乎更 有兴趣了．T:你理解今天所讲的任意角三角函数与初中学习 的锐角三角函数的差别了吗?S:理解了，初中学习内容是研 究三角形边角关系的，现在学习的是具有函数性质的．不是 同一个内容．S:那你理解在这里引入单位圆的作用了吗?T: 差不多吧，圆具有周期性、对称性，用来研究三角函数很好． 最后老师又问了一个问题，感觉还有内容要学习．T:那今后 采用这种方式上课怎么样?S:好啊，不容易溜号了．图3是对 全体授课班级同学学习情况的统计，我们可以看到本节课的 教学效果还是显著的．三角函数历史悠久，有几何的、代数 的、解析的视角，现在向量也进入教材，三角函数和向量、 复数之间的关系也应引起教师重视，教师把对三角函数概念 的理解局限于一节课、一章里是不对的，学生对一个概念的 理解不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．作为教师 更要有全局观念，在教三角这一章时要用三角的眼光看待后 续内容，适当的选择教学方式方法［11］．因此建议教师在 教授任意角三角函数概念的时候，不要把对学生理解此概念 的任务放在这一节里，而是在整个单元的教学中都要反复的 重视学生对任意角三角函数概念的理解情况．从本课的课堂反馈和效果调查来看，基于HPM视角下的教学设计对于学生 深刻理解数学概念有一定的促进作用． 5结论与反思 人的认识过程与人类认识的过程是基本一致的，所以我 们需要研究数学史．了解数学发生和发展，数学发展的历程 也应在
个人身上重现，使我们懂得应该怎样安排学习顺序， 应该选择哪些有生命力的内容［12］．教师在这一环节中起 到了重要的作用．从实际教学上来看数学史虽然在数学课程 标准和教材中都有明确的要求，但在实际课堂教学中却几乎 没有融入，即存在“高评价、低
应用”、理论层面和实践操 作层面相脱离的现象［13］．虽然实际教学中，教师需要查 阅大量的历史资料并对其进行重新整合才能适用于课堂的 教学，费时又费力，数学史在教学中的运用确实存在一定的 困难．但是我们不能忽视其作用，应该思考如何借助这一高 效高产的方法提高我们教学的效果，让学生了解数学的来龙 去脉，体会其发展过程中蕴含的深刻数学
思想，真正让
学生 领会到数学的魅力，充分的激发学生的学习兴趣．