从与教材题的联系看数学试题的命制以两道高考模拟应用题为例
从与教材题的联系看数学试题的命制以两道高考模拟应用 题为例 数学考试中的应用题是最能直接体现课程标准与考试 说明中培养学生应用意识和应用能力的教学要求的评价手 段。纵观近年来各地的高考和调研模拟考试数学试卷，其中 均含有一道分值较大的数学应用题。因而，对于试题命题者 来说，应用题是决定一份数学试卷质量的关键题之一。其实，命制高考和调研模拟考试数学试卷中的应用题时， 植根教材进行改编是一种常用的策略——既比较便捷，也容 易实现公平。其程序通常是：首先确定应用题考查的知识点， 然后在教材上寻找一些与确定的知识点有关的典型原题，接 着将选中的原题归类合并、拓展延伸，最后组合打造、格式 成题。下面，挖掘南通市高三调研数学考试中的两道应用题 与教材中的原题的联系，以期管中窥豹，透析数学考试应用 题的命题规律。
一、考题呈现 考题1（2016届高三第一次调研测试第18题）如图1，阴 影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，1 km 长为半径的半圆面。公路l经过点O，且与直径OA垂直。现计 划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上， 点Q在公路l上），T为切点。
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ=α(rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ=t(km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面 积S的最小值。
图1 解答（1）①由题设知，在Rt△O1PT中，∠OPT=α，O1T=1， 所以O1P=1sin α。又OO1=1，所以OP=1+1sin α。在Rt△OPQ 中，OQ=OPtan α=1+1sin αtan α= 1+sin αcos α。所 以，Rt△OPQ的面积S=12OP·OQ=121+1sin α1+sin αcos α =1+sin α22sin αcos α= (1+sin α)2sin 2α0<α<π2。
②由题设知，OQ=QT=t，O1T=1，且Rt△POQ∽Rt△PTO1， 所以OPOQ=TPTO1，即OPt=t2+OP2－t1，化简得OP=2t2t2－ 1(t>1)。所以，Rt△OPQ的面积S=12OQ·OP=12t·2t2t2－ 1=t3t2－1(t>1)。
（2）选用（1）①中的函数关系S=(1+sin α)2sin 2α 0<α<π2。
S′=2(1+sin α)cos αsin 2α－(1+sin α)22cos 2 α(sin 2α)2 =2(1+sin α)［cos αsin 2α－(1+sin α)cos 2α］ (sin 2α)2 =2(1+sin α)［sin(2α－α)－(1－2sin2α)］(sin 2 α)2 =2(1+sin α)2(2sin α－1)(sin 2α)20<α<π2。
由S′=0，得α=π6。列表：α0，π6π6π6，π2S′－0+S 极小值 所以，当α= π6时，△OPQ的面积S取最小值1+sinπ62sin2×π6=332 （km2）。
（2）选用（1）②中的函数关系S=t3t2－1(t>1)。
S′=3t2(t2－1)－t3·2t(t2－1)2=t2(t+3)(t－3)(t2 －1)2(t>1)。
由S′=0，得t=3。列表：
t(1，3)3(3，+∞)S′－0+S 极小值 所以，当t=3时， △OPQ的面积S取最小值(3)3(3)2－1=332（km2）。
二、题源探究 原题1（苏教版高中数学必修5第19页例4）如图2，半圆 O的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上 的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在 PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值。
图2 分析：要求四边形OPDC面积的最大值，首先需要建立一 个面积函数，则问题是选谁作为自变量。注意到动点P在半 圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ 作为自变量。四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，S△ OPC可以用12OP·OCsin θ表示，等边△PDC的面积可以用 34PC2表示，而PC2可以用OP2+OC2－2OP·OCcos θ表示。至 于面积最值的获得，则可以通过三角函数知识解决。
原题2（苏教版高中数学选修22第57页第16题）如图3，在半径为常量r，圆心角为变量2θ（0<2θ<π）的扇形OAB 内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与 圆P外切的小圆Q，求圆Q半径的最大值。
图3 分析：在扇形中，圆P的半径确定，则圆Q的半径也确定， 圆Q的半径取决于圆P的半径。可设圆P的半径为x，圆Q的半 径为y，圆P切OA与E，连结PE，圆Q切OA与D，连结QD，则Rt △OQD∽Rt△OPE，所以PEOP=QDOQ，即xr－x=yr－2x－y，故 y=－2rx2+x0 三、考题编制 第一，考题1的图形是由原题1的图形改变而得的。考题 1的设问“求△OPQ的面积S的最小值”与原题1的设问“求四 边形OPDC面积的最大值”的出发点相同，都是基于半圆上的 动点与半圆直径所在直线，求相关平面多边形面积的最值。 此外，广义上看，考题1的设问“求△OPQ的面积S的最小值” 与原题2的设问“求圆Q半径的最大值”的出发点也是相同的， 即基于一个变量，求相关变量的最值。 第二，考题1中，Rt△OPQ的面积（取决于两直角边的长） 取决于半圆上动点T，而动点T的位置取决于∠OPQ=α（或 ∠OQP）的大小（归根到底取决于∠TO1A的大小），或取决 于边OQ=t（或边OP）的长（归根到底也取决于∠TO1A的大小）， 因而，可分别选它们作为Rt△OPQ的面积的自变量，建立目 标函数后求最值。而原题1中，求四边形OPDC的面积的最大值，需要将四边形OPDC分割为△OPC与等边△PDC，两个三角 形的面积都取决于半圆上的动点P，而动点P的位置由∠POB ＝θ的大小决定，因而，可选θ作为四边形OPDC的面积的自 变量，建立函数关系后求最值。可见，考题1求Rt△OPQ的面 积与原题1求四边形OPDC的面积的思想方法是一致的，只不 过考题1中给出两个变量∠OPQ=α，OQ=t，使得求解更为直 接。此外，广义上看，考题1求Rt△OPQ的面积与原题2求圆Q 的半径的思想方法也是一致的，即寻找相关变量作为自变量， 建立目标函数。 第三，考题1的第（1）问中，选t作为Rt△OPQ的面积的 自变量时，必须用Rt△OPQ的一条直角边OQ（即t）表示另一 条直角边OP，从而必须由Rt△POQ ∽Rt△PTO1得到相应的数 量关系。而编制此小问的想法正是从原题2中用圆P的半径表 示圆Q的半径的过程得到的：由Rt△OQD∽Rt△OPE得到相应 的数量关系。 第四，考题1与原题1、2相比，在求目标函数的最值时 增加了难度。考题1求解时需要利用导数，且式子比较复杂 （含有分式），而原题1求解时直接利用简单的三角恒等变 换即可，原题2求解时直接利用二次函数的性质即可。 最后，想要指出的是，类似这样抓住教材中的典型例、 习题，挖掘改编出的优秀应用题还有很多。比如，下述考题 2就是由原题3、4采取上述方法合理编写而成的。考题2（2015 届高三第一次调研测试第18题）如图4，在长为20 m，宽为16 m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C）， 展厅入口位于长方形长边的中间。在展厅一角点B处安装监 控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在 摄像头水平监控范围内(如图中阴影所示)。 图4 （1）若圆盘半径为25 m，求监控摄像头最小水平摄像 视角的正切值； （注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的 视线的夹角） 原题3（苏教版高中数学必修4第106页第16题）如图5， 有一壁画，最高点A处离地面4 m，最低点B处离地面2 m，若 从离地高1.5 m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？ 图5 原题4（苏教版高中数学必修4第101页第14题）如图6， △ABC中，∠B为直角，DE⊥AB于E，AC⊥DC，设BC=1。 （1）若∠BAC=30°，∠DAC=45°，试求△ADE的各边之 长，由此推出75°的三角函数值； 图6学科教育教育研究与评论中学教育教学/2017年第1 期
（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘 半径的最大值。
（2）设∠BAC=α,∠DAC=β（α、β、α+β均为锐角）， 试由图推出求sin(α+β)的公式。