实数的概念折纸拼图中发现计算比较中建构
实数的概念折纸拼图中发现计算比较中建构 摘要：无理数的产生源于生活的实际需要，无理数的发 现是人类对数的认识的一次理性飞跃，无理数定义的发展说 明了人们对任何新事物的认识都伴随着曲折往复而螺旋上 升。从HPM的视角设计“实数的概念”的教学，通过对常见 的A4纸长和宽的比值的探讨来引入，融入拼图活动来凸显2 的几何意义，通过求近似值的计算来体验2是无限不循环小 数，通过与有理数的区别来建构无理数的概念，播放微视频 来展现无理数的历史。课后反馈表明，这样的教学实现了融 入数学史的“知识之谐”“文化之魅”“探究之乐”“德育 之效”。“实数的概念”是沪教版初中数学七年级下册第十二章 第一课时的内容，让学生在学习了有理数相关知识的基础上 学习无理数的概念，进而学习实数的概念和分类。无理数的 引入、数系的扩展充满着对立和统一的辩证关系以及分类思 想，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想。所 以，这节课不仅要完善学生的知识结构，而且是培养学生的 想象能力，发展学生的逻辑思维，让学生领悟数学思想、感 受数学美的有效载体。
现行初中数学教材对于无理数概念，都采用“小数型” 定义，即采用“无限不循环小数”的表征。这样的事实性定 义虽然能够从形式上让学生迅速掌握如何判断一个数是不是无理数，但是不能让学生理解无理数为什么会产生，是怎 样产生的以及无理数有什么用途，与有理数有什么本质的区 别。沪教版初中数学教材采用无理数的“根号型”实例来引 入（无理数的“小数型”定义），即通过“用两个边长为1 的正方形拼成一个新的正方形”来说明无理数√2的存在。
这样的引入没有说明√2为什么属于新的数系，从而使部分 学生产生困惑：从形式上完全看不出√2是无限不循环小数。
为了让学生深刻理解无理数产生的必要性和无理数的 本质特征，我们尝试从HPM的视角设计“实数的概念”的教 学，通过概念的由来帮助学生突破认识上的障碍。基于以上 思考，我们拟定的教学目标如下：（1）通过动手操作，体 验发现无理数的过程，知道无理数是客观存在的数。（2） 通过对比分析，理解无理数与有理数的区别，会辨别无理数。
（3）了解数的范围从整数到有理数、再到实数的扩展过程， 知道实数的分类，体会分类的思想。（4）了解无理数的产 生、发展史以及数学史上无理数的各种定义。
一、 历史材料梳理 公元前3000年左右，古巴比伦人就有了平方根表和立方 根表，他们给出的2的近似值是1.414213。
公元前470年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现边长 为1的正方形的对角线长并不是整数或者整数之比，得到了 √2这个数，后来陆续又有很数学家发现了类似√2的数，如 √3、√5、√7等。柏拉图最早将这样的数称为“无法言传的数”，后来才将这一类数称为“不可比的数”（irrational number）。
无理数的发现，在数学史上引发了“第一次数学危机”。
在此后的约2300年内，数学家们对无理数的使用越来越广泛， 但是对无理数是不是真正的数一直存在分歧，不少数学家不 承认无理数是数。直到18世纪，数学家们仍然没有弄清楚无 理数的概念，但是陆续有数学家证明了一些特殊形式的数是 无理数，从而出现了无理数理论体系建立的萌芽。19世纪， 有很多数学家加入到研究无理数的队伍中来，他们先后给出 了几种不同的无理数的定义，使得无理数的理论体系逐渐从 模糊到清晰。19世纪末，出现了无理数的严格定义，无理数 的理论体系逐渐完备，有了我们今天所学的实数的分类。
我们国家将“irrational number”称为“无理数”， 最早源于晚清数学家华衡芳在翻译英国数学家华里司的《代 数术》时的误译：他将根式译为“无理式”。译后的《代数 术》东传到日本后，日本数学家根据这一译名，将无限不循 环小数译为“无理数”，此后这一称呼被广泛采用。
由此可见，无理数的产生源于生活的实际需要，无理数 的发现是人类对数的认识的一次理性飞跃，无理数定义的发 展说明了人们对任何新事物的认识都伴随着曲折往复而螺 旋上升。
二、 教学设计与实施 （一） 结合生活实际，创设问题情境从历史来看，无理数是从我们的现实生活中产生的。那 么，现实生活中的无理数在哪里？通过对已学的有理数知识 的复习，学生明确了有理数可以写成两个整数之比（即分数） 的形式。那么，是否存在不能用两个整数之比的形式来表示 的数呢？根据学生现有的知识水平，我们通过对常见的A4纸 长和宽的比值的探讨来引出本节课—— ［教师出示问题：在现实生活中，是否存在不能用两个 整数之比（即分数）的形式来表示的数呢？］ 师让我们带着这个问题进行探讨：你能用什么办法来求 一张A4纸长与宽的比？ 生通过测量长和宽来求比。
师这样测出来的结果是否准确呢？ 生不准确，因为我们测量读数时有误差。
师我来教你们一种折纸的方法，通过这种方法，我们可 以找到一条线段，使它的长与A4纸的长相等。（出示图1） 请同学们利用手中的A4纸，按照图示操作，和我一起折。
［教师出示问题：通过折纸可以发现，折痕AE（即正方 形ABEF的对角线）和A4纸的长AD相等。若将AB看作1，则AE 的长度又是多少呢？］ 师这个问题其实是已知正方形的边长，求正方形的对角 线长，我们没有学过。那么，已知正方形ABEF的边AB=1，我 们会求什么？生正方形的面积。
师等于几？ 生1。
师反过来，面积为1的正方形的边长是多少？ 生1。
师面积为4的呢？ 生2。
师也就是说，我们知道了正方形的面积，就能知道正方 形的边长。那么，我们是否能以AE为边长，构造一个正方形， 通过这个正方形的面积，来求AE的长呢？ 在一问一答之间，从学生现有的认知基础出发，通过对 问题的探索，引出了解决问题的方法。这一设计为学生掌握 类似2的无理数的几何意义做好了铺垫，也使教材“用两个 边长为1的正方形拼成一个新的正方形”的引入变得顺理成 章，显得不那么突兀。
（二） 利用拼图活动，感受无理数存在 新课程倡导将数学知识与生活实际相联系，用符合学生 生活体验的数学情境使数学知识更加生动活泼，更加便于理 解。拼图是古代数学家研究（证明）几何问题（结论）的主 要方法。因此，我们把拼图活动融入数学教学，以合作探究 的方式使学生真正成为课堂的主体，让学生更好地领悟知识 产生、发展的过程—— （教师出示活动要求：如图2，利用两个边长为1的正方形，拼成一个以它们的对角线为边长的大正方形。学生四人 一组展开讨论，尝试拼图，然后每一组派一名代表汇报结 果。） 生（出示图3）先将两个小正方形沿对角线剪开，再将 得到的4个直角三角形的直角顶点重合，拼成这一图形。
生（出示图4）将裁剪后的4个直角三角形的直角顶点作 为大正方形的4个直角顶点，拼成如图所示的样子，则中间 空白的正方形即为我们要拼的正方形。或者可以理解为：将 由前一种拼法所得的正方形中的4个直角三角形分别沿斜边 向外翻折。
生（出示图5）将一个小正方形沿对角线裁成4个小的直 角三角形，并将这4个小的直角三角形的斜边分别与另一个 小正方形的4条边重合，拼成如图所示的样子，则其中最大 的正方形就是我们要拼的正方形。
让学生通过动手实践、小组交流与展示，增强探索和创 新意识，体验发现的过程，形成积极主动、生动活泼的自主、 合作探究氛围，符合新课程理念。通过这一拼图环节，让学 生在后续教学活动中体会到无理数是确实存在的数。
（三） 估算√2的大小，感受无理数特征 从历史来看，无理数√2的近似值计算出现得较早，√2 不能用两个整数之比（即分数）的形式来表示的证明出现得 比较晚。根据初一学生所掌握的知识，为了使他们认识到 √2的确与之前学过的有理数存在不同（即不是有理数），我们应该让他们通过求近似值的计算感觉到√2是无限不循 环小数，而不是通过逻辑的证明认识到√2不能用两个整数 之比（即分数）的形式来表示—— （教师出示问题：通过以上拼图活动，我们得到了符合 要求的新的正方形，如果设该正方形的边长为x，那么x2=2， 这个x究竟是多少呢？） 师若边长为1（即x=1），那么面积（即x2）等于多少？ 与2比较，是大还是小？ 生x2=1，比2小。
师若边长为2（即x=2）呢？ 生x2=4，比2大。
师可以说明这个x介于哪两个整数之间？ 生1和2之间。
师1和2之间有很多数，x是一点几呢？如何确定？ 生可以一个一个试算一下。
师那我们就算一下1.5的平方等于多少。
生2.25。
师2.25>2，说明什么？ 生x<1.5。
师那1.4的平方呢？ 生1.96。
师1.96<2，说明什么？ 生x>1.4。师我们可以采用“二分法”来估算x的大小。取1和2的 平均数1.5，1.5的平方等于2.25，2.25>2，所以x<1.5；
再 取1和1.5的平均数……如此反复，可以越来越接近x的准确 值。考虑到这一方法比较烦琐，我帮同学们准备了一些数据。
（出示图6）通过这组数据，我们看到了：平方后的结果无 限接近2。有兴趣的同学课后还可以利用“二分法”继续计 算下去，从而感觉到：这个x是一个无限不循环小数。（稍 停）有理数都可以用两个整数之比（即分数）的形式表示， 而一般的分数可以化成有限小数或无限循环小数。这个x明 显不属于这两类，故不是有理数。我们把这个x用√2来表示。
1.42=1.96 1.412=1.9881 1.4142=1.999396 1.41422=1.99996164 1.414212=1.9999899421 图6（学生感受、思考、理解。） 师在我们所探讨的这个问题中，x表示什么？ 生正方形的边长。
师那么2表示什么意义呢？ 生面积为2的正方形的边长。
师回答得非常好！这就是2的几何意义。那么，你们知 道现在的根号是怎么演变过来的吗？ 生不知道。师“根”的拉丁语是radix，它是阿拉伯语的译名。“根” 的英语是root。16世纪，路多尔夫、斯蒂文根据radix或者 root的首字母的变形，创用了“√”作为根号。17世纪，法 国哲学家、数学家笛卡儿巧妙地在原来的符号上面拖了一个 尾巴，就形成了现在我们所熟悉的根号。
利用“二分法”引导学生对√2的大小进行估算，目的 就是让学生感悟到√2既不是有限小数，也不是无限循环小 数，从而认识到√2与有理数不同，它属于一个新的数系。
接下来，重点讲解了√2这一类数（即算术平方根）的几何 意义，不仅将一维的数放在二维的形中进行探讨，体现了数 形结合的思想；
而且使学生认识到不是所有带根号的数都是 无理数，为学生深刻认识无理数奠定了基础。这之后，介绍 了根号的由来，让学生认识到很多数学符号都不是“天上掉 下来的”，而是人们在生活实践中创造出来的，从而激发学 生学习数学的兴趣和信心。
（四） 建构无理数概念，了解无理数历史 师通过上述探索，我们知道了边长为1的正方形的对角 线长为√2。也就是说，A4纸长与宽的比是√2。这说明了在 现实生活中的确存在不能用两个整数之比来表示的数。那么 这类数就不是分数（整数可以看作分母为1的分数），也就 不可能是有限小数或无限循环小数。所以它们一定是无限不 循环小数。我们把这一类数称为无理数。（稍停）无理数是 没有道理的数吗？生不是，无理数是存在的。
师在某一个时期，无理数曾被认为是没有道理的数。主 要原因是，当时的翻译者错误地将“无比数”（不可比的数） 翻译成了“无理数”（没有道理的数）。无理数从被发现开 始，经历了几千年的发展，才最终形成了我们现在所学习的 这个定义。让我们一起跟着微视频的讲述，了解一下无理数 的历史。
（教师播放微视频，学生观看。） 师在2300多年的历史长河中，无理数经历了各种定义。
现在看来，一些定义是不完善、不完整的，但在当时，也是 一个历史性的突破。
在给出无理数的定义时，我们没有照搬教材，而是结合 “有理数可以用两个整数之比的形式来表示”这一特征，凸 显无理数与有理数的区别以及无理数存在的必要性。在此基 础上，我们还根据有理数的小数表征，揭示无理数的小数表 征，加深学生对无理数的理解。这样的设计体现了知识的本 源和产生、发展过程，让学生了解了数学概念不是凭空而来， 而是从旧知中衍生出来的。
由此，我们顺理成章地播放了有关无理数历史的微视频， 让学生深切感受到无理数从无到有、从不完善到完善的产生、 发展历程，从而体会到知识发展的艰辛与探究出错的正常， 认识到在追求真理的道路上，坚持不懈才能有所成就，孜孜 不倦终将克服困难。对于学生来说，明白这一道理，胜过多做几道习题。
（五） 针对难点应用概念，结合历史辨析概念 在练习巩固环节，我们首先设置了如下概念应用题：
例1将下列各数归入适当的类别：0、-2、2、3.14、0. √2·3·、22/7、√16、π/3、0.3737737773…（相邻两个 “3”之间“7”的个数依次加1）。
（1） 无理数有__________；
（2） 正有理数有__________；
（3） 非正数有__________；
（4） 整数有__________。
此题考查了学生目前学过的所有数，包括本节课涉及的 带根号的、含圆周率的、无限不循环小数这三类无理数以及 之前学过的整数、分数、有限小数、无限循环小数等有理数， 对其进行了列举，让学生进行分类，从而巩固学生对实数分 类的理解。其中，对于“√16是不是无理数”，可以让学生 根据之前讲述的几何意义来理解，这是在学生还没有学习最 简根式的情况下的一种简洁有效的办法，而且使学生强化了 不是所有带根号的数都是无理数的认识。对于“π/3是不是 无理数”，学生能通过“它是不是两个整数之比的形式”来 理解，这体现了通过“不能表示成两个整数之比的形式”定 义无理数的必要性。
我们接着设置了一些概念辨析题，比如：有理数是正的 和负的整数和分数，其他实数都称为无理数。这些题目是利用美国早期教科书中无理数的定义设计的，目的是让学生具 体感受到无理数产生、发展的历史中存在的那些不完善、不 完整的定义，从而进一步感悟数学家们不畏挫折的钻研精神 ——这正是当代学生所缺乏的。
三、 学生反馈 课后，我们对全班学生进行了问卷调查。结果显示：
95.5%的学生喜欢本节课所讲的数学史。他们认为：在 学习数学的同时了解相关历史，可以更好地理解书本知识， 还能学到书本以外的知识，非常有益、有趣。学生对这节课 印象比较深的有：通过拼图的方法认识无理数，感受到了无 理数的现实存在；
无理数的产生、发展史以及根号的演变过 程，既了解了历史，又增长了知识，还感受到了数学的奇妙；
√2的几何意义，感觉十分生动，知道了它是面积为2的正方 形的边长。
从主观意识上说，所有学生对本节课都没有存在疑惑的 地方。从客观测试上说，81.82%的学生列举出的无理数完全 正确，并且包含了课上所讲的三种类型；
77.27%的学生对 √5、√25、π/2、1.1212212221…（相邻两个“1”之间 “2”的个数依次加1）这四个数是不是无理数的判断完全正 确。
四、 教学反思 （一） 知识之谐 结合教材中的拼图探索，使学生亲眼看见了√2的现实存在，并且清楚知道了有理数概念的局限，从而凸显了无理 数概念的必要性。利用“二分法”引导学生对√2的大小进 行估算，让学生清楚知道了对于无理数的“根号型”实例， 存在和它无限接近的有限小数或无限循环小数，但是不存在 等于它的有限小数或无限循环小数，从而使无理数的“小数 型”定义的引入显得顺理成章。在给出无理数的定义前，通 过“√2不是两个整数的比”，凸显无理数与有理数的区别， 再过渡到“它不可能是有限小数或无限循环小数”，确定了 无理数的小数表征，从而使有理数和无理数概念无缝衔接， 让学生体会到数系扩展的过程。这些都体现了“知识之谐”。
（二） 文化之魅 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学 文化是人类文化的一种，它的内容、思想、方法和语言是现 代文明的重要组成部分。”作为文化的数学，要充分展示数 学知识产生、发展及应用的过程，体现数学与生活的联系， 体现数学的人文价值。其中，数学的观念、意识和思维方式 是数学文化的核心。
本节课中，引入的问题“A4纸长与宽的比是多少”从学 生的认知出发，让学生感悟到数学来源于生活、应用于生活， 符合“人人学有价值的数学”的理念；
“√”由来的介绍也 体现了数学与生活的密切联系，是数学人文价值的一种体 现；
√2几何意义的强调则更体现了数学文化的核心，不仅 充分展示了数学知识产生、发展及应用的过程，而且包含了数形结合等思想方法，实现了从一维到二维的思维方式的跨 越，使数学文化的魅力应运而生。
（三） 探究之乐 本节课通过一连串动手实践、自主探索与合作交流的探 究活动，凸显了无理数在现实生活中的真实存在以及√2这 一类无理数的几何意义，让学生既认识了数学源于生活，又 知道了课本以外的知识，更激发了对未知事物的好奇。在这 一过程中，学生不仅理解和掌握了基本的数学知识和技能， 而且领悟了解决问题的思想方法，获得了广泛的数学活动经 验，从而体会到了“探究之乐”。
（四） 德育之效 通过课堂中呈现的无理数产生、发展史的微视频，学生 可以清晰地认识到：数学知识产生、发展的历程不是一帆风 顺的，期间经历了“发现—探索—验证—纠错”等诸多环节， 甚至需要上千年才能将知识的完善推进一小步。因而，只有 具备持之以恒、严谨求实的学习态度，才能最终征服困难、 有所成就。这样便凸显出数学学科的德育价值，能够将立德 树人这一教育目标落到实处。
*本文系本刊连载的汪晓勤教授团队开发的HPM案例之 一。
参考文献：［1］ 汪晓勤．HPM的若干研究和展望［J］.中学数学 月刊，2012（2）. ［2］ 【美】莫里斯·克莱因.古今数学思想（第三册） ［M］.万伟勋等译.上海：上海科学技术出版社，2002.